frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Déterminer la forme canonique de f :

Rédaction :

La forme canonique de f est donnée par cette formule :

x^S = α = abscisse du sommet
y^S = β = ordonnée du sommet

Ces coordonnées (x^S ; y^S) sont données par :

Ici a = 3, b = -12, c = -15.

x_S = ^-b/_2a = ^-(-12)/_(2×3)
= ¹²/₆ = 2

Δ = b² – 4ac
= (-12)² – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324

y_{S = ^-Δ/4a = ^-324/(4×3)
= ^-324/12 = -27}

Donc les coordonnées du sommet S sont (2 ; 27).
On peut aussi calculer y_S avec
f(x_S) = f(2) = 3 × 2² – 12 × 2 – 15
= 12 – 24 – 15
= -27.

Du coup, la forme canonique est :
f(x) = 3(x – 2)² – 27.

2) Déterminer les solutions de l’équation f(x) = 0 :

Rédaction :

f(x) = 0
⇔ 3x² – 12x – 15 = 0

J’ai a = 3, b = -12, c = -15.

Je calcule Δ = b² – 4ac
= (-12)² – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324 > 0.

Donc on a deux racines x₁ et x₂ :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-(-12) – √324)}/_{(2 × 3)}
= ^{(12 – 18)}/₍₆₎
= ^-6/₆
= -1

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-(-12) + √324)}/_{(2 × 3)}
= ^{(12 + 18)}/₍₆₎
= ³⁰/₆
= 5

Donc S = {-1 ; 5}.

3) Coordonnées du point d’intersection de Cf et de l’axe des ordonnées :

Rédaction :

Si Cf coupe l’axe des ordonnées (ce qui donnera ce point d’intersection), c’est que l’abscisse x est égal à 0 car l’axe des ordonnées a pour équation x = 0.
Pour le calcul de l’ordonnée, je rassemble y = f(x) et x = 0, cela fait y = f(0).
y = f(0) = 3 × 0² – 12 × 0 – 15
= – 15.
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; – 15).

4) Dresser le tableau de variation de f puis allure de Cf :

Rédaction :

Comme on a les coordonnées du sommet, on sait où s’arrêtent les flèches.
Regardons le signe de “a”. C’est 3 donc il est positif.

(Hors-rédaction : l’atmosphère/ambiance est positive, la parabole sourit.)

Pour notre fonction ici présente :

Voici l’allure de la courbe en reprenant les deux points d’intersection avec l’axe des abscisses (abscisses solutions de l’équation f(x) = 0), le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, le sommet, et un point symétrique à droite.

PS : je n’ai pas pris le repère donné.

5) Pour chacune de ces fonctions, indiquer laquelle des paraboles la représente :

Rédaction :

Chacune des quatre paraboles a un sommet différent, calculons les abscisses de ces sommets avec les expressions et la formule ^-b/_2a.

g :
x_S = ^-b/_2a = ^-1/_(-2×¹/2)
= ^-1/_(-²/2)
= ⁺¹/₍₊₁₎
= 1
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C3.

h :
x_S = ^-b/_2a = ^-(-2)/_(2ײ/4)
= ²/_(²/4)
= ²/_(¹/2)
= 2 × ²/₁
= 4
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C1.

k :
x_S = ^-b/_2a = ^-(-2)/_(-2×¹/3)
= ²/_(-²/3)
= 2 × –³/₂
= -3
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C2.

l :
x_S = ^-b/_2a = ^-1/_(2×¹/4)
= ^-1/_(²/4)
= ^-1/_(¹/2)
= -1 × ²/₁
= -2
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C4.

Je récapitule :
(g ; C3) (h ; C1) (k ; C2) (l ; C4)

6) Résoudre graphiquement l’inéquation g(x) > h(x) :

Rédaction :

Pour résoudre graphiquement g(x) > h(x), je dois regarder quand la courbe Cg est strictement au dessus de celle de Ch.
C’est à dire quand C3 est au strictement au dessus de C1.
J’entoure les portions de courbe, je descends au niveau des abscisses.

Cela arrive pour les valeurs de x entre 0 et 4.
Donc S = ]0 ; 4[, j’exclus les valeurs 0 et 4 car l’inégalité est stricte.

7) Résoudre les équations suivantes :

4x² – 9 = 0

⇔ (2x)² – 3² = 0 (de la forme a² – b²)
⇔ [(2x) – 3][(2x) + 3] = 0 (en factorisant avec (a-b)(a+b))
Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
⇔ (2x – 3) = 0 ou (2x + 3) = 0
⇔ 2x = 3 ou 2x = -3
⇔ x = 3/2 ou x = -3/2
S = {-3/2 ; 3/2}

2x² – 7x = 0

⇔ 2x × x – 7 × x = 0 (de la forme A×K – B#x000d7; K)
⇔ x × (2x – 7) = 0 (de la forme K #x000d7; (A – B))
Un produit de facteurs est nul si au moins de ses facteurs est nul.
⇔ x = 0 ou 2x – 7 = 0
⇔ x = 0 ou 2x = 7
⇔ x = 0 ou x = 7/2
S = {0 ; 7/2}

2004x² + x – 2005 = 0

Impossible de factoriser ici.
Δ = b² – 4ac
= 1² – 4 × 2004 × (-2005)
= 1 + 4 × 3 × 15
= 1 + 16072080
= 16072081 > 0.

Donc on a deux racines x₁ et x₂ :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1 – √16072081)}/_{(2 × 2004)}
= ^{(-1 – √16072081)}/₄₀₀₈

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1 + √16072081)}/_{(2 × 2004)}
= ^{(-1 + √16072081)}/₄₀₀₈

Donc S = {^{(-1 – √16072081)}/₄₀₀₈ ; ^{(-1 + √16072081)}/₄₀₀₈}.

(-³/₄)x² + 2x – 5 = 0

Impossible de factoriser ici.
Δ = b² – 4ac
= 2² – 4 × (-³/₄) × (-5)
= 4 – 3 × 5 (les 4 s’annulent)
= 4 – 15 = -9 < 0

Donc pas de solution.
^{(3x2 + 10x + 8)}/_{(x + 2)} = 2x + 5

On a des fractions dans cette équation donc on passe tout à gauche.
Déjà, on ne peut pas diviser par 0, donc x+2 est différent de 0, donc -2 est valeur exclue de l’ensemble de définition de l’équation.

⇔ ^{(3x2 + 10x + 8)}/_{(x + 2)} – 2x + 5 = 0
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8)}/_{(x + 2)} – ^{((2x + 5)×(x + 2))}/_{(x + 2)} = 0
(en mettant au même dénominateur)
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – (2x + 5)×(x + 2))}/_{(x + 2)} = 0
(en soustrayant les numérateurs)
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – [(2x + 5)×(x + 2)])}/_{(x + 2)} = 0
(attention au “moins-” donc je mets des crochets)
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – [2x × x + 2x × 2 + 5 × x + 5 × 2])}/_{(x + 2)} = 0
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])}/_{(x + 2)} = 0
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])}/_{(x + 2)} = 0
⇔ ^{(3x2 + 10x + 8 – 2x2 – 4x – 5x – 10)}/_{(x + 2)} = 0
⇔ ^{(x2 + x – 2)}/_{(x + 2)} = 0
(Une fraction est nulle si et seulement si le numérateur est nul (mais pas le dénominateur), on peut donc enlever le dénominateur).
⇔ x² + x – 2 = 0 et x différent de -2 d’après le domaine de définition de l’équation (valeur exclue).

Δ = b² – 4ac
= 1² – 4 × 1 × (-2)
= 1 + 8
= 9 > 0

Donc on a deux racines x₁ et x₂ :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1 – √9)}/_{(2 × 1)}
= ^{(-1 – 3)}/₍₂₎
= ^(-4)/₍₂₎
= -2

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1 + √9)}/_{(2 × 2004)}
= ^{(-1 + 3)}/₍₂₎
= ⁽²⁾/₍₂₎
= 1

La valeur -2 est exclue car elle n’est pas dans le domaine de définition de cette équation donc S = { 1 }.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1)

2) En utilisant la formule du milieu de seconde :

Pour les abscisses seulement ici :

a₂ = ^{(a₀ + a₁)}/₂
= ^{(0 + 1)}/₂
= ¹⁾/₂

a₃ = ^{(a₁ + a₂)}/₂
= ^{(0.5 + 1)}/₂
= ^1.5/₂
= 0.75
= ³/₄

a₄ = ^{(a₂ + a₃)}/₂
= ^{(0.5 + 0.75)}/₂
= ^1.25/₂
= ^(5/₄)/₂
= ⁵/₈

a₅ = ^{(a₃ + a₄)}/₂
= ^{(3/₄ + 5/₈)}/₂
= ^{(6/₈ + 5/₈)}/₂
= ^(11/₈)/₂
= ¹¹/₁₆

a₆ = ^{(a₄ + a₅)}/₂
= ^{(5/₈ + 11/₁₆)}/₂
= ^{(10/₁₆ + 11/₁₆)}/₂
= ^(21/₁₆)/₂
= ²¹/₃₂

3) C’est la formule du milieu pour les abscisses. A_n+2 est le milieu de A_n et A_n+1 donc on fait la demi-somme (comme la formule de la question 3) avec a_n et a_n+1 comme abscisses pour obtenir l’abscisse a_n+2.

4) Initialisation :

D’une part (membre de gauche),
a₁ = 1.

D’autre part (membre de droite),
(-¹/₂)a₀ + 1
= (-¹/₂) × 0 + 1 = 1.

On a bien :
a₁ = (-¹/₂)a₀ + 1
La propriété est vraie au rang n = 0.

Hérédité :

On suppose que la propriété est vraie au rang k. On a donc :
a_k+1 = (-¹/₂)a_k + 1

Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, c’est à dire que
a_k+2 = (-¹/₂)a_k+1 + 1.

On sait que a_k+2 = ^{(a_k + a_k+1)}/₂

J’ai a_k+2 en fonction de a_k alors que je le veux en fonction de a_k+1. Donc il faut remplacer le a_k par du a_k+1 dans le calcul.

On sait que a_k+1 = (-¹/₂)a_k + 1
Donc a_k+1 – 1 = (-¹/₂)a_k
Et (-2) × (a_k+1 – 1) = a_k (en multipliant par -2 de chaque côté).

D’où a_k+2 = ^{(a_k + a_k+1)}/₂
= ^{((-2) × (a_k+1 – 1) + a_k+1)}/₂
= ^{(-2a_k+1 + 2 + a_k+1)}/₂
(en développant le (-2))
= ^{(-1a_k+1 + 2)}/₂
= (-¹/₂)a_k+1 + 1
(en séparant les fractions “diviser par 2”, et comme ²/₂ = 1).

La propriété est donc bien vraie au rang k+1. L’hérédité est prouvée.

Conclusion :

Comme j’ai prouvé l’initialisation et l’hérédité, la propriété est vraie pour tout n.

5) Pour tout n entier naturel,
v_n+1 = a_n+1 – ²/₃
= (-¹/₂)a_n + 1 – ²/₃
= (-¹/₂)a_n + ¹/₃
= (-¹/₂) × [ a_n + ^(1/₃)/_{(–¹/2)]
= (-¹/2) × [ an + ¹/3 × (-2)]
= (-¹/2) × [ an – ²/3]
= (-¹/2) × vn}

Il existe q ∈ R (q = –¹/₂) tel que pour tout n ∈ N :
v_n+1 = q × v_n,
donc la suite (v_n) est géométrique de raison q = –¹/₂ et de premier terme
v₀ = a₀ – ²/₃
= 0 – ²/₃ = –²/₃.

6) La formule explicite d’une suite suite géométrique est :

Donc v_n = v₀ × q^{n – 0}
= (-²/₃) × (-¹/₂)ⁿ

lim_[n→+∞] (-¹/₂)ⁿ = 0 car 0 < q < 1.

Par produit, lim_[n→+∞] (-²/₃) × (-¹/₂)ⁿ = 0 (car –²/₃ × 0 = 0).

D’après les données : v_n = a_n – ²/₃.
Donc a_n = v_n + ²/₃

Du coup, par somme, lim_[n→+∞] a_n = ²/₃ (car 0 + ²/₃).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

(E1) : cos(x) = ¹/₂
(E2) : sin(2x + ^π/₆) = ^√2/₂

1) (E1) :

Rédaction :

En traçant le cercle trigonométrique et en dessinant un trait vertical au niveau de x = ¹/₂ (car le cosinus représente l’abscisse), on s’aperçoit que ¹/₂ est le cosinus de ^π/₃ et de –^π/₃.

Donc cos(x) = ¹/₂
⇔ cos(x) = cos(^π/₃)

Hors rédaction :

Pour obtenir les valeurs de l’angle x sans les cosinus, on utilise la propriété du cours qui découle du dessin suivant :

Si deux angles ont le même cosinus, ici a et b, alors ces deux angles sont égaux (a = b) ou opposés (l’un vers le haut, l’autre vers le bas : a = -b). Ceci au nombre de tours complets près : on peut ajouter des 2π comme l’indique la flèche rouge qui fait un tour complet.

Rédaction :

Comme :

On a donc
cos(x) = cos(^π/₃)

⇔

x = ^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z)
ou
x = –^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z).

L’ensemble des solutions sur R est l’ensemble des angles
{^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z) ;
–^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z)}

(E2) :

En traçant le cercle trigonométrique et en dessinant un trait horizontal au niveau de y = ^√2/₂ (car le sinus représente l’ordonnée), on s’aperçoit que ^√2/₂ est le sinus de ^π/₄ et de ^3π/₄.

Donc sin(2x + ^π/₆) = ^√2/₂
⇔ sin(2x + ^π/₆) = sin(^π/₄)

Hors rédaction :

Pour obtenir les valeurs de l’angle x sans les sinus, on utilise la propriété du cours qui découle du dessin suivant :

>

Si deux angles ont le même sinus, ici a et b, alors ces deux angles sont égaux (a = b) ou opposés par rapport à l’axe des ordonnées (l’un vers la droite, l’autre vers la gauche : a = π-b). Ceci au nombre de tours complets près : on peut ajouter des 2π comme l’indique la flèche rouge qui fait un tour complet.

Rédaction :

Comme :

On a donc
sin(2x + ^π/₆) = sin(^π/₄)

⇔

2x + ^π/₆ = ^π/₄ + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x + ^π/₆ = π – ^π/₄ + 2π × k (k ∈ Z)

⇔

2x = ^π/₄ – ^π/₆ + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x = π – ^π/₄ – ^π/₆ + 2π × k (k ∈ Z)

⇔

2x = ^π/₁₂ + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x = ^7π/₁₂ + 2π × k (k ∈ Z)

⇔

x = ^π/₂₄ + π × k (k ∈ Z)
ou
x = ^7π/₂₄ + π × k (k ∈ Z)
Ici on fait attention à bien diviser les 2π !

L’ensemble des solutions sur R est l’ensemble des angles
{^π/₂₄ + π × k (k ∈ Z) ;
^7π/₂₄ + π × k (k ∈ Z)}

2) (E1) :

Rédaction :

On reprend les solutions sur R :
{^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z) ;
–^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z)}

Ici je vois que le dénominateur est 3, donc je mets l’intervalle demandé sur 3 aussi.
]-π ; π] = ]-^3π/₃ ; ^3π/₃]
Si on enlève le π du haut, l’intervalle entier à considérer sera ]-3 ; 3].

^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
^π/₃ + 2π × 0
= ^π/₃
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
^π/₃ + 2π × (-1)
= ^π/₃ – ^6π/₃
= –^5π/₃
-5 est en dessous de -3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur.

On est trop bas, maintenant je passe au k positifs.

k = 1 :
^π/₃ + 2π × 1
= ^π/₃ + ^6π/₃
= ^7π/₃
7 est au dessus de 3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur. On s’arrête.

–^π/₃ + 2π × k (k ∈ Z)

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
–^π/₃ + 2π × 0
= –^π/₃
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
–^π/₃ + 2π × (-1)
= –^π/₃ – ^6π/₃
= –^7π/₃
-7 est en dessous de -3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur.

On est trop bas, maintenant je passe au k positifs.

k = 1 :
–^π/₃ + 2π × 1
= –^π/₃ + ^6π/₃
= ^5π/₃
5 est au dessus de 3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur. On s’arrête.

Du coup, S = {^π/₃ ; –^π/₃}

(E2) :

Rédaction :

On reprend les solutions sur R :
{^π/₂₄ + π × k (k ∈ Z) ;
^7π/₂₄ + π × k (k ∈ Z)}

Ici je vois que le dénominateur est 24, donc je mets l’intervalle demandé sur 3 aussi.
]-π ; π] = ]-^24π/₂₄ ; ^24π/₂₄]
Si on enlève le π du haut, l’intervalle entier à considérer sera ]-24 ; 24].

^π/₂₄ + π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :

^π/₂₄ + π × 0
= ^π/₂₄.
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
^π/₂₄ + π × (-1)
= –^23π/₂₄.
-23 est dans l’intervalle ]-24 ; 24].
Donc OK.

k = -2 :
^π/₂₄ + π × (-2)
= –^47π/₂₄.
Non, on n’y est plus.

k = 1 :
^π/₂₄ + π × 1
= ^25π/₂₄.
25 est au dessus de 24, on n’y est plus.
On s’arrête.

^7π/₂₄ + π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
^7π/₂₄ + π × 0
= ^7π/₂₄.
7 entre -24 exclu et 24 inclus. OK.

k = -1 :
^7π/₂₄ + π × (-1)
= ^-17π/₂₄.
-17 entre -24 exclu et 24 inclus. OK.

k = -2 :
^7π/₂₄ + π × (-2)
= ^-41π/₂₄.
Trop bas.

k = 1 :
^7π/₂₄ + π × 1
= ^31π/₂₄.
31 > 24, trop haut. On s’arrête là.

Du coup, S = {^π/₂₄ ; –^23π/₂₄ ; ^7π/₂₄ ; ^-17π/₂₄}.

f : x → ^sin(x)/_{(2 – cos(x))}

3) Rédaction :

2-cos(x) est toujours différent de 0 car cos est toujours entre -1 et 1.
Du coup, le dénominateur est toujours différent de zéro, donc f est dérivable quand le numérateur sin(x) est dérivable (R) et le dénominateur (2-cos(x)) est dérivable (R).
Par conséquent, f est dérivable sur R.

4) Rédaction :

Pour montrer qu’une fonction est impaire, il faut démontrer que :
pour tout x, f(-x) = -f(x).

Pour tout x, f(-x) = ^sin(-x)/_{(2 – cos(-x))}
= ^-sin(x)/_{(2 – cos(x))}
(car sin étant impaire, sin(-x) = -sin(x). Et cos étant paire, cos(-x) = cos(x))
= –^sin(x)/_{(2 – cos(x))}
= -f(x).

Donc f est impaire et la courbe Cf est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.

5) Rédaction :

Pour montrer qu’une fonction est périodique de période 2π, je dois montrer que :
pour tout x, f(x + 2π) = f(x).

Pour tout x, f(x + 2π)
= ^{sin(x + 2π)}/_{(2 – cos(x + 2π))}
= ^sin(x)/_{(2 – cos(x))}
(sin et cos sont périodique de période 2π donc sin(x + 2π) = sin(x) et
cos(x + 2π) = cos(x))
= f(x).

Donc f est 2π-périodique.

6) Rédaction :

Si on a f sur [0 ; π], on aura f sur [-π ; 0] car comme f est impaire, il suffit de prendre l’opposé des valeurs de f(x).

On a donc f sur [-π ; π]. Comme f est 2π-périodique, il suffit de reprendre les valeurs sur cet intervalle pour avoir les valeurs sur [π ; 3π], et ainsi de suite par translation de 2π.

7) Rédaction :

f(x) = ^u(x)/_v(x)
avec u(x) = sin(x)
u'(x) = cos(x)
v(x) = 2 – cos(x)
v'(x) = -(-sin(x)) = sin(x)

f'(x) = ^{(u'(x)v(x) – u(x)v'(x))}/_(v(x)²)
= ^{(cos(x)(2 – cos(x)) – sin(x)sin(x))}/_{(2 – cos(x)²)}
= ^{(2cos(x) – cos(x)2 – sin(x)2)}/_{(2 – cos(x)²)}
= ^{(2cos(x) – [cos(x)2 + sin(x)2])}/_{(2 – cos(x)²)}
= ^{(2cos(x) – 1)}/_{(2 – cos(x)²)}.

8) Rédaction :

Numérateur : 2cos(x) – 1 ≥ 0
quand 2cos(x) ≥ 1
quand cos(x) ≥ 1/2

Le cosinus est supérieur à 1/2 quand x est entre –^π/₃ et ^π/₃. Donc entre 0 et ^π/₃ sur notre intervalle.

Dénominateur : Il n’est jamais égal à zéro et c’est un carré. Donc toujours +.

Voici le tableau de signe de f'(x).

9) Voir ci-dessus.

10)

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Rédaction :

Les issues possible sont 1, 2, 3 et 4. Donc l’univers est
U = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

2) Explication :

Une loi de probabilité est bien souvent un tableau avec les valeurs concernées sur la première lignes (les x_i) et les probabilités associées sur la seconde ligne
: les p_i = P(X = x_i).

Rédaction :

Il y a autant de chance de piocher chaque jeton car ils sont indiscernables au toucher.
On est donc dans une situation d’équiprobabilité.
La formule de la probabilité d’une issue (résultat) est donc :

Par exemple, pour la valeur 3, il y a 3 jetons donc le nombre de cas favorables est 3 et le nombre total de cas est 1+2+3+4 = 10.

Du coup, P(X = 3) = ³/₁₀ = 0,3.
De même, P(X = 1) = ¹/₁₀ = 0,1 car il y a un seul jeton marqué 1.
P(X = 2) = 0,2.
P(X = 4) = 0,4.

La loi de probabilité est :

3) Rédaction :

Le jeton porte un numéro pair s’il a le numéro 2 ou le numéro 4, donc j’additionne les probabilités du tableau.
P(A) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

4) Rédaction :

Le jeton porte un numéro supérieur ou égal à trois, s’il a le numéro 3 ou 4, donc j’additionne les probabilités du tableau.
P(B) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,3 + 0,4.

5) Rédaction :

A inter B, c’est avoir A “et à la fois” B. Le jeton doit être pair et à la fois supérieur ou égal à 3. Seul 4 fonctionne.
P(A inter B) = P(X = 4) = 0,4.

6) Rédaction :

Comme on a A, B, et A inter B, je peux utiliser la formule de l’union A U B qui est :

P(A U B) = 0,6 + 0,7 – 0,4 = 0,9.

Autre méthode :

Cela revient à vouloir “soit” A (les pairs 2 et 4), “soit” B (3 et 4), “soit” les deux cas en même temps (le pair 4).
Du coup, on accepte 2, 3 et 4 et on additionne les probabilités
0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9. Ce qui revient au même.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) La forme développée est
f(x) = 5x² + 4x – 1
avec a = 5, b = 4, c = -1.

Je calcule Δ = b² – 4ac
= 16 – 4×5×(-1)
= 36 > 0.
Donc le trinôme admet deux racines distinctes :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_2a
= ^{(-4 – √36)}/₁₀
= ^{(-4 – 6)}/₁₀
= -1

x₂ = ^{(-4 + 6)}/₁₀
= 1/5.

La forme factorisée est
f(x) = a×(x – x₁)×(x – x₂)
= 5(x – (-1))(x – 1/5)
= 5(x + 1)(x – 1/5)

2) La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
a(x – x_Sommet)² + y_Sommet
= a(x – α)² + β.

α = x_Sommet = ^-b/_2a
= ^-4/₁₀
= ^-2/₅

β = y_Sommet = ^-Δ/_4a
= ^-36/₂₀
= ^-9/₅

On peut calculer β en faisant f(α) aussi.

Donc f(x) = 5(x – (^-2/₅))² + (^-9/₅)
= 5(x + (²/₅))² – (⁹/₅).

3) Pour étudier le signe, on reprend les racines -1 et 1/5 et on fait le tableau de signe. Le signe de a = 5 est positif. On met le “+” à l’extérieur des racines.

x|-∞ -1 1/5 +∞
signe| + 0 – 0 +

4) Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
Comme l’abscisse du sommer est α = ^-2/₅, la fonction est donc
décroissante sur ]-∞ ; ^-2/₅] et
croissante sur [^-2/₅ ; +∞[.

5) Avoir l’intersection d’une courbe avec l’axe des ordonnées, cela veut dire que x = 0 et y = f(0).
On fait donc y = f(0) = 5×0² + 4×0 – 1 = -1.
L’intersection est le point de coordonnées (0 ; -1).

6) Pour avoir les intersections de Cf et de la droite d’équation
y = 4x + 4,
on résout l’équation :
f(x) = 4x + 4

soit 5x² + 4x – 1 = 4x + 4

On soustrait par 4x + 4 pour laisser 0 à droite :
soit 5x² – 5 = 0

On peut calculer le discriminant ou factoriser par 5 :
soit 5(x² – 1) = 0

On factorise (a² – b²) en (a + b)(a – b) :
soit 5(x + 1)(x – 1) = 0

Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul :
soit 5 = 0 ou x + 1 = 0 ou x – 1 = 0

5 est toujours différent de 0 :
soit x = -1 ou x = 1

Les points d’intersection sont (-1 ; f(-1)) et (1 ; f(1))
soit (-1 ; 0) et (1 ; 8).

7) (P) a pour sommet S(-1 ; 2) et passe par le point A(2 ; 20).
On a donc les coefficients a, b, c d’un trinôme
g(x) = ax² + bx + c à trouver.

Le sommet a comme abscisse -1 qui vaut ^-b/_2a, cela donne b = 2a.

De plus, g(-1) = 2 et g(2) = 20.
Donc a×(-1)² + b×(-1) + c = a – b + c = 2.
Donc a×2² + b×2 + c = 4a + 2b + c = 20.

On sait que b = 2a donc :
a – 2a + c = 2
4a + 2*2a + c = 20

On obtient le système :
{ -a + c = 2
{ 8a + c = 20

J’isole le c.
{ c = 2 + a
{ c = 20 – 8a

Comme on a c = c, on a 2 + a = 20 – 8a.
9a = 18 donc a = 2.
On remonte à c = 2 + a = 2 + 2 = 4.
Puis à : b = 2×a = 2×2 = 4.
Donc g(x) = 2x² + 4x + 4.

8) (Q) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses -1 et 5 et l’axe des ordonnées au point d’ordonnée -10.
Cela veut dire que les racines sont -1 et 5.
On peut utiliser la forme factorisée :
h(x) = a(x – x1)(x – x2)
= a(x – (-1))(x – 5)
= a(x + 1)(x – 5)

Sur l’axe des ordonnées, x = 0.
On a h(0) = -10,
soit a(0 + 1)(0 – 5) = -10
soit -5a = -10
soit a = -10/(-5) = 2.

Donc h(x) = 2(x + 1)(x – 5).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Dans cette situation, il y a deux paramètres à propos des téléphones. Le premier est la présence du Wifi W (ou non) et le second est la présence du GPS G (ou non). Pour représenter cette situation, je te suggère de faire un tableau à double entrées.

Sur les lignes, tu peux séparer W (avec Wifi) et ^–W (sans Wifi). Sur les colonnes, tu peux séparer G (avec GPS) et ^–G (sans GPS).

La ligne du dessous est le sous-total de G et celui de ^–G, la colonne de droite est le sous-total de W et celui de ^–W.

Les quatre cases centrales sont les intersections qui prennent en compte à la fois la présence (ou non) de W et la présence (ou non) de G. Enfin en bas à droite, il y a le total. Ici, on travaille en pourcentage donc on met 100%.

Voici le premier tableau avec ce que l’on cherche en rouge (l’union veut dire qu’on veut au moins G ou W). Les données de l’exercice sont en vert.

Pour compléter les cases, tu dois faire des soustractions sur les lignes et les colonnes.
70 – 24 = 46 ;
40 – 24 = 16 ;
100 – 70 = 30 ;
100 – 40 = 60 ;
30 – 16 ou 60 – 46 = 14
De cette manière, toutes les cases du tableau sont remplies et tu obtiens la répartition des options avec les intersections. Ces résultats sont en bleu foncé ci-dessous.

Pour l’union G U W, on reprend ce qu’il y a en rouge (avec la présence de “soit G, soit W, soit les deux”) et on additionne :
24 + 46 + 16 = 86%.
Donc P(G U W) = 0,86.

2) Aucune des deux options, c’est ni G, ni W, soit “^–G inter ^–W”, c’est la case avec 14%.
P(aucune des deux options)= 0,14.

3) 6 euros correspond à prendre l’option Wifi sans prendre celle du GPS. Dans le tableau, cela revient à prendre “^–G inter W” qui vaut 46%.
Donc P(X = 6) = 0,46.

4) Une loi de probabilité revient (presque toujours) à faire un tableau avec les valeurs en haut et les probabilités sur la ligne du dessous. Ici, il s’agit de faire la loi de probabilité du gain qui est liée à celle des options (car le gain dépend des options).

On va reprendre le précédent tableau, mais en plus “aplati”.

La première ligne rappelle les options, la deuxième indique le gain, puis la troisième met les probabilités. La loi de probabilité du gain concerne les deux dernières lignes. C’est pour ça que j’ai mis la première ligne entre parenthèses.

5) La formule de l’espérance est :
E(X) = Valeur1 × Proba1 + Valeur2 × Proba2 + Valeur3 × Proba3 + Valeur4 × Proba4
= 0 × 0,14 + 6 × 0,46 + 12 × 0,16 + 18 × 0,24
= 9.

L’espérance est de 9. Cela veut dire qu’en moyenne, la marque va payer 9 euros pour les options.

6) On fait en moyenne 9 × 200000 = 1,8 millions d’euros.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

f(x) = ^{(2x – 4)}/_{(x + 2)}

1) Déterminer le domaine de définition Df de f :

f(x) est un quotient.
Un quotient est défini quand son dénominateur est différent de 0.
Pour déterminer les valeurs exclues (s’il y en a),
résous l’équation dénominateur = 0.
x + 2 = 0
⇔ x = -2.
Donc -2 est une valeur exclue (ou interdite).
Du coup, on ne peut pas choisir -2 pour x, car cela reviendrait à diviser par 0.
Donc Df = ]-∞ ; -2[ ⋃ ]-2 ; +∞[.
Df = R privé de {-2}.

2) Montrer que pour tout réel x de Df,
f(x) = 2 – ⁸/_{(x + 2)} :

Pour démontrer une telle égalité, on part de la forme développée (celle avec le “moins”) puis on tente d’arriver à la forme “quotient” (celle de l’énoncé). Donc :

2 – ⁸/_{(x + 2)}
= 2×^{(x + 2)}/_{(x + 2)} – ⁸/_{(x + 2)} (en mettant au même dénominateur).
= ^{(2x + 4)}/_{(x + 2)} – ⁸/_{(x + 2)} (en distribuant le 2 au 1er numérateur).
= ^{(2x + 4 – (8))}/_{(x + 2)} (en rassemblant les numérateurs)
= ^{(2x – 4)}/_{(x + 2)}
= f(x) (qu’on met seulement à la fin).

On a donc bien démontré que f(x) = 2 – ⁸/_{(x + 2)}.

A la main, cela donne :

3) Étudier les variations de f sur ]-2 ; +∞[ :

Méthode 1 :

Pour démontrer qu’une fonction est croissante en seconde, la propriété du cours dit qu’il faut :

– Partir de a < b. C’est à dire écrire “a < b” sur la feuille.
– Puis arriver à f(a) ≤ f(b).

En effet, si “a < b donne f(a) ≤ f(b)“, cela veut dire que la fonction f est croissante comme c’est illustré sur l’image ci-dessous.

On voit bien que si on prend a < b et qu’on arrive à f(a) ≤ f(b), alors la courbe monte entre les deux points.
Attention, il faut dire “pour tout a et b tels que a < b“.

Reprenons la formule f(x) = 2 – ⁸/_{(x + 2)}.

Rédaction de la méthode 1 :

Sur ]-2 ; +∞[ :
Pour tout a et b tels que : -2 < a < b (-2 est exclu donc a > -2), on a :

-2 < a < b

⇔ -2+2 < a+2 < b+2 (on ajoute déjà le +2 à côté du “x” au dénominateur de f(x))

⇔ 0 < a+2 < b+2
⇔ ¹/_{(a + 2)} > ¹/_{(b + 2)} (on passe à l’inverse, et comme la fonction “inverse” est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[, on change le sens de l’inégalité “<” en “>”).
On ne s’occupe plus du 0 car on ne peut pas inverser 0.

⇔ ⁸/_{(a + 2)} > ⁸/_{(b + 2)} (en multipliant par 8 positif, on garde le sens de l’inégalité).

⇔ –⁸/_{(a + 2)} < –⁸/_{(b + 2)} (en multipliant par “-“, on change le sens de l’inégalité).

⇔ 2 – ⁸/_{(a + 2)} < 2 – ⁸/_{(b + 2)} (l’ajout ou la soustraction ne change pas le sens)

⇔ f(a) < f(b)

On a donc “a < b donne f(a) < f(b)” ou même “a < b donne f(a) ≤ f(b)” avec une inégalité large. Donc la fonction f est croissante sur ]-2 ; +∞[.

Rédaction de la méthode 2 :

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Simplifier ^→u = ^→HF + ^→SU + ^→RS + ^→UH :

Quand tu as une expression vectorielle, regarde si tu peux aligner les mêmes lettres les unes après les autres. Si un vecteur se termine par C (par exemple), essaie de voir si tu peux en trouver un autre qui commence par C. Regroupe les comme ci-dessous :

Cela veut dire que si tu pars d’un point A vers un point C, et que tu repars de ce même point C vers le point B ;;; c’est comme si tu partais du point A directement vers le point B. C’est le même déplacement car même départ et même arrivée.

Du coup, avec ^→u, mets les vecteurs en ordre en rapprochant les mêmes points.

Rédaction :

^→u = ^→HF + ^→SU + ^→RS + ^→UH
= ^→RS + ^→SU + ^→UH + ^→HF
= ^→RU + ^→UH + ^→HF
= ^→RH + ^→HF
= ^→;RF
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

2) Simplifier ^→v = ^→OC – ^→OB + ^→AB :

Il y a un “moins-” devant ^->OB ? Il faut un “plus+” pour refaire une éventuelle relation de Chasles. Pour cela, échange les lettres pour faire
–^→OB = +^→BO

Rédaction :
^→v = ^→OC – ^→OB + ^→AB
= ^→OC + ^→BO + ^→AB
= ^→AB + ^→BO + ^→OC
= ^→AO + ^→OC
= ^→AC
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

3) Avec ABCD parallélogramme de centre O, démontrer que 2^→AB + 2^→AD – ^→AC = 2^→AO :

Il faut un dessin du parallélogramme ABCD.

Comme on veut arriver à du ^→AO, il faut transformer
le ^→AC en 2^→AO car c’est une égalité du parallélogramme comme tu peux le voir sur le dessin.

De plus, la formule principale du parallélogramme donne :

On peut donc remplacer ^→AB par ^→DC dans l’expression pour ne plus avoir le B.

Rédaction :

On part du membre de gauche pour arriver au droit.
2^→AB + 2^→AD – ^→AC
= 2^→DC + 2^→AD – ^→AC (car ABCD est un parallélogramme)
= 2^→DC + 2^→AD – 2^→AO (car O est le milieu de [AC])
= 2^→AD + 2^→DC – 2^→AO
= 2(^→AD + ^→DC) – 2^→AO
= 2^→AC – 2^→AO
= 2×2^→AO – 2^→AO (car O est le milieu de [AC])
= 2^→AO.
On arrive au membre de droit. Donc on a bien :
2^→AB + 2^→AD – ^→AC = 2^→AO.

4) Avec 3^→MA + ^→MB = ^→0,
exprimer ^→AM en fonction de ^→AB :

Ici, on veut obtenir ^→AM et ^→AB à partir des vecteurs ^→MA et ^→MB.
^→AM et ^→MA sont opposés.
Mais dans ^→MB, il n’y a ni ^→AM, ni ^→AB. Il manque le point A.
Quand il manque un point, il faut l’insérer avec la relation de Chasles.
Ici ^→MB = ^→MA + ^→AB.

Rédaction :

3^→MA + ^→MB = ^→0
⇔ -3^→AM + ^→MB = ^→0
⇔ -3^→AM + ^→MA + ^→AB = ^→0
⇔ -3^→AM – ^→AM + ^→AB = ^→0
⇔ -4^→AM + ^→AB = ^→0
⇔ -4^→AM = –^→AB
⇔ ^→AM = ¹/₄^→AB (en divisant par -4).

5) Placer le point M sur une figure :

Rédaction :

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Développer une expression, c’est transformer un produit (avec une multiplication comme opération centrale) en somme. Par exemple, x(3x + 6) vaut x “fois” (3x + 6). C’est un produit. Avec la distributivité, on peut transformer cette expression en somme.
k×(a + b) = k×a + k×b
Cela donne : x×3x + x×6.

2) Factoriser une expression, c’est transformer une somme (avec une addition ou soustraction comme opération centrale) en produit. Par exemple, 8x² – 5x est une somme avec “moins” (c’est-à-dire une différence ou soustraction). Avec la distributivité dans l’autre sens,
k×a + k×b = k×(a + b),
cela donne x×(8x – 5).

3) A(x) = (2x + 3)(5 – x) – (x + 3)(3x – 1)
On utilise la double-distributivité
(a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d.
= 2x×5 + 2x×(-x) + 3×5 + 3×(-x) – [ x×3x + x×(-1) + 3×3x + 3×(-1) ]
(Attention à bien mettre des crochets quand on développe après un moins)
= 10x – 2x² + 15 – 3x – [ 3x² – x + 9x – 3 ]
= 10x – 2x² + 15 – 3x – 3x² + x – 9x + 3
= -5x² – x + 18.

4) B(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) :
Ici on a trois facteurs à développer. Développons deux à deux en mettant un crochet autour des deux premières parenthèses.
= [(x – 1)(x – 2)](x – 3)
= [x² – 2x – x + 2](x – 3)
= [x² – 3x + 2](x – 3)
= x²×x + x²×(-3) + (-3x)×x + (-3x)×(-3) + 2x + 2×(-3)
= x³ – 3x² – 3x² + 9x + 2x – 6
= x³ – 6x² + 11x – 6.

5) M(x) = (4x – 7)(2x – 1) – (7x + 1)(1 – 2x) :
Ici, on reconnait presque un facteur commun à ceci prêt qu’il y a deux signes opposés : (2x – 1) et (1 – 2x).
On doit donc multiplier l’un des deux par (-1) : (1 – 2x) = (-1)(2x – 1)
On obtient donc :
M(x) = (4x – 7)(2x – 1) – (7x + 1)(-1)(2x – 1)
= (4x – 7)(2x – 1) – (-1)(7x + 1)(2x – 1)
= (2x – 1)[(4x – 7) –(-1)(7x + 1)]
= (2x – 1)[4x – 7 + 7x + 1]
= (2x – 1)[11x – 6]

6) N(x) = (5x – 1)(3x + 2) – 4 + 9x² :

Ici, il est difficile de savoir quoi faire. Il faut s’y connaître un peu.
Je reconnais des carrés à droite. On a 4 = 2² et 9x² = (3x)².
On pourrait avoir du a² – b² en forme développée mais il y a un plus entre les deux termes et un moins avant. Je propose donc de mettre d’abord le 9x² puis ensuite le -4 pour bien obtenir a² – b².

Donc N(x) = (5x – 1)(3x + 2) + 9x² – 4.
Maintenant, d’après a² – b², on obtient (a + b)(a – b).
= (5x – 1)(3x + 2) + (3x – 2)(3x + 2)
On voit le facteur commun (3x + 2). On peut factoriser avec k×(a + b).
= (3x + 2)×[ (5x – 1) + (3x – 2) ]
= (3x + 2)×[5x – 1 + 3x – 2]
= (3x + 2)×[8x – 3].

7) Q(x) = (x – 1)(2x – 3) + 3(4x + 1)(x – 1) :
Le facteur commun est (x – 1) donc on peut factoriser
de k×a + k×b vers k×(a + b).
= (x – 1)[ (2x – 3) + 3(4x + 1) ]
= (x – 1)[ 2x – 3 + 3×4x + 3×1 ]
= (x – 1)[ 14x ]
= 14x(x – 1).

8) (a + b)³
= (a + b)²(a + b)
= [ (a + b)² ](a + b)
= [ a² + 2ab + b² ](a + b)
= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

9) (a – b)³
= (a – b)²(a – b)
= [ (a – b)² ](a – b)
= [ a² – 2ab + b² ](a – b)
= a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + b²a – b³
= a³ – 3a²b + 3b²a – b³.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) La dérivée de e^u(x) est u ‘ (x)×e^u(x).
Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en coefficient multiplicateur.

La dérivée de x est 1. Donc e^x se dérive en 1×e^x.

La dérivée de 2x est 2. Donc e^2x se dérive en 2×e^2x.

On a f(x) = 2×e^x – e^2x.

Donc f ‘ (x) = 2×1×e^x – 2×e^2x
= 2e^x – 2e^2x

2) On doit partir de notre forme développée (avec un “moins” au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de deux facteurs, qui sont 2e^2x et la parenthèse (1 – e^x).

Tout d’abord, e^2x = (e^x)².

Pour prouver une égalité, il est pratique de partir d’un côté du “égal” et arriver à l’autre membre de l’autre côté du “égal”. Développons le membre de droite pour retrouver celui de gauche (sans écrire f ‘ (x)).

2×e^x(1 – e^x)
= 2×e^x×1 – 2×e^x×e^x
= 2×e^x – 2×(e^x)².
= 2×e^x – 2×e^2x
= f ‘ (x)
d’après la dérivée de la question 1).

On a bien f ‘ (x) = 2×e^x(1 – e^x).

3) Pour obtenir les variations de la fonction f sur R, étudions le signe de f ‘ (x). Pour cela, on utilise la forme factorisée pour faire le tableau de signe suivant.

Nous dévons résoudre l’inéquation 1 – e^x ≥ 0 pour déterminer pour quelles valeurs de x cette expression est positive, on pourra mettre un + pour ces valeurs de x.
1 – e^x ≥ 0
⇔ -e^x ≥ -1
⇔ e^x ≤ 1 (On change le sens de l’inégalité car on divise par le nombre négatif -1 de chaque côté.)
⇔ e^x ≤ e⁰
⇔ x ≤ 0 (car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.)
⇔ x ∈ ]-∞ ; 0]
Soit x à gauche de zéro. On met donc le + à gauche de la valeur x = 0 dans le tableau de signe.

Voici le tableau de signe de f ‘ (x) puis le tableau de variation de f :

5) La dérivée de e^u(x) est u ‘ (x)×e^u(x).
Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en coefficient multiplicateur.

La dérivée de x est 1. Donc e^x se dérive en 1×e^x.

La dérivée de 3x est 3. Donc e^3x se dérive en 3×e^3x.

On a g(x) = 3×e^x – e^3x.

Donc g ‘ (x) = 2-3×1×e^x – 2-3×e^2-3x
= 3e^x – 3e^3x

6) On doit partir de notre forme développée (avec un “moins” au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de deux facteurs, qui sont 3e^3x et la parenthèse (1 – e^x).

Tout d’abord, e^3x = (e^x)³.

Pour prouver une égalité, il est pratique de partir d’un côté du “égal” et arriver à l’autre membre de l’autre côté du “égal”. Développons le membre de droite pour retrouver celui de gauche (sans écrire g ‘ (x)).

3×e^x(1 – e^x)
= 3×e^x×1 – 3×e^x×e^x
= 3×e^x – 3×(e^x)³.
= 3×e^x – 3×e^2x
= g ‘ (x)
d’après la dérivée de la question 1).

On a bien g ‘ (x) = 3×e^x(1 – e^x).

7) Pour obtenir les variations de la fonction g sur R, étudions le signe de g ‘ (x). Pour cela, on utilise la forme factorisée pour faire le tableau de signe suivant.

Nous dévons résoudre l’inéquation 1 – e^2x ≥ 0 pour déterminer pour quelles valeurs de x cette expression est positive, on pourra mettre un + pour ces valeurs de x.
1 – e^2x ≥ 0
⇔ -e^2x ≥ -1
⇔ e^2x ≤ 1 (on change le sens de l’inégalité car on divise par le nombre négatif -1 de chaque côté)
⇔ e^2x ≤ e⁰
⇔ 2x ≤ 0 (car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.)
⇔ x ≤ 0 (On ne change pas le sens de l’inégalité quand on divise par un nombre positif (ici 2) de chaque côté.)
⇔ x ∈ ]-∞ ; 0]
Soit x à gauche de zéro. On met donc le + à gauche de la valeur x = 0 dans le tableau de signe.

Voici le tableau de signe de g ‘ (x) puis le tableau de variation de g :

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland