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Tout le corrigé :
1) La forme développée est
f(x) = 5x2 + 4x – 1
avec a = 5, b = 4, c = -1.
Je calcule Δ = b2 – 4ac
= 16 – 4×5×(-1)
= 36 > 0.
Donc le trinôme admet deux racines distinctes :
x1 = (-b – √Δ)/2a
= (-4 – √36)/10
= (-4 – 6)/10
= -1
x2 = (-4 + 6)/10
= 1/5.
La forme factorisée est
f(x) = a×(x – x1)×(x – x2)
= 5(x – (-1))(x – 1/5)
= 5(x + 1)(x – 1/5)
2) La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
a(x – xSommet)2 + ySommet
= a(x – α)2 + β.
α = xSommet = -b/2a
= -4/10
= -2/5
β = ySommet = -Δ/4a
= -36/20
= -9/5
On peut calculer β en faisant f(α) aussi.
Donc f(x) = 5(x – (-2/5))2 + (-9/5)
= 5(x + (2/5))2 – (9/5).
3) Pour étudier le signe, on reprend les racines -1 et 1/5 et on fait le tableau de signe. Le signe de a = 5 est positif. On met le « + » à l’extérieur des racines.
x|-∞ -1 1/5 +∞
signe| + 0 – 0 +
4) Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
Comme l’abscisse du sommer est α = -2/5, la fonction est donc
décroissante sur ]-∞ ; -2/5] et
croissante sur [-2/5 ; +∞[.
5) Avoir l’intersection d’une courbe avec l’axe des ordonnées, cela veut dire que x = 0 et y = f(0).
On fait donc y = f(0) = 5×0² + 4×0 – 1 = -1.
L’intersection est le point de coordonnées (0 ; -1).
6) Pour avoir les intersections de Cf et de la droite d’équation
y = 4x + 4,
on résout l’équation :
f(x) = 4x + 4
soit 5x² + 4x – 1 = 4x + 4
On soustrait par 4x + 4 pour laisser 0 à droite :
soit 5x² – 5 = 0
On peut calculer le discriminant ou factoriser par 5 :
soit 5(x² – 1) = 0
On factorise (a² – b²) en (a + b)(a – b) :
soit 5(x + 1)(x – 1) = 0
Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul :
soit 5 = 0 ou x + 1 = 0 ou x – 1 = 0
5 est toujours différent de 0 :
soit x = -1 ou x = 1
Les points d’intersection sont (-1 ; f(-1)) et (1 ; f(1))
soit (-1 ; 0) et (1 ; 8).
7) (P) a pour sommet S(-1 ; 2) et passe par le point A(2 ; 20).
Comme on a le sommet de la parabole (P), on peut utiliser la forme canonique. La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
g(x) = a(x – xSommet)2 + ySommet
= a(x – α)2 + β
avec α qui est l’abscisse du sommet, ici -1
et β qui est l’ordonnée du sommet, ici 2.
Donc g(x) = a(x – (-1))2 + 2
= a(x + 1)2 + 2.
Comme la parabole (P) passe par le point A(2 ; 20),
on a g(2) = 20
soit en remplaçant x par 2 dans l’expression de g(x),
a(2 + 1)2 + 2 = 20
soit a × 3 2 = 18 en soustrayant 2 de chaque membre
soit a × 9 = 18
soit a = 2 en divisant par 9 chaque membre.
Pour conclure, g(x) = 2(x + 1)2 + 2 comme forme canonique. La forme développée n’est pas demandée.
8) (Q) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses -1 et 5 et l’axe des ordonnées au point d’ordonnée -10.
Cela veut dire que les racines sont -1 et 5.
Comme on a les racines du polynôme du second degré, on peut utiliser la forme factorisée :
h(x) = a(x – x1)(x – x2)
= a(x – (-1))(x – 5)
= a(x + 1)(x – 5)
Comme la parabole (Q) coupe l’axe des ordonnée au point d’ordonnée y = -10,
elle passe par le point B(0 ; -10) car sur l’axe des ordonnées, x = 0.
On a donc h(0) = -10,
soit a(0 + 1)(0 – 5) = -10
soit -5a = -10
soit a = -10/(-5) = 2.
Pour conclure, h(x) = 2(x + 1)(x – 5) comme forme factorisée. La forme développée n’est pas demandée.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
