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Tout le corrigé :
1) On a 4 chances sur 6 d’obtenir une rouge au premier tirage (et 2 chances sur 6 d’avoir une noire).
Si on a une rouge et qu’on la remet, on obtient les mêmes chances pour le second tirage.
Par contre, si on a une noire et qu’on ne la remet pas, on aura 4 chances sur 5 d’avoir une rouge et 1 chance sur 5 d’avoir une noire.
J’obtiens l’arbre suivant :
Les branches de droites forment la colonne des « sachants ».
Les probabilités tout à droite sont les « inter ».
P(boules rouges) = P(R1 inter R2)
= P(R1) × P(R2 sachant R1)
= 4/6 × 4/6
= 2/3 × 2/3
= 4/9
2) P(seconde boule noire) = P(N2)
On retrouve N2 deux fois sur la colonne de droite donc :
R1 et N1 forment une partition de Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(N2) = P(R1 inter N2) + P(N1 inter N2)
= 4/6 × 2/6 + 2/6 × 1/5
= 2/3 × 1/3 + 1/3 × 1/5
= 2/9 + 1/15
= 10/45 + 3/45
= 13/45
3) P(première boule rouge sachant seconde noire) = P(R1 sachant N2)
= P(R1 inter N2)/P(N2)
= (4/6)/(13/45)
= 4/6 × 45/13
= 4/2 × 15/13 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
= 2×15/13
= 30/13
4) p est la probabilité de succès d’une épreuve.
Le succès est d’obtenir une boule rouge lors du tirage.
Il y a 4 boules rouges et n boules noires, soit (4+n) boules au total.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.
La probabilité d’obtenir une boule rouge (le succès) est donc le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Soit p = 4/(4 + n)
5) On a du « au moins une », on doit donc raisonner en contraire.
Le contraire de « l’une au moins des quatre boules tirées soit noire » est « toutes les boules sont rouges » donc :
qn = P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire)
= 1 – P(X = 4)
= 1 – (Combinaison(n ; k) × pk × (1 – p)n-k)
= 1 – (Combinaison(4 ; 4) × p4 × (1 – p)4-4)
= 1 – (1 × p4 × (1 – p)0)
= 1 – (p4 × 1)
= 1 – p4
= 1 – (4/(4 + n))4
6) qn ≥ 0,9999
⇔ 1 – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999 – 1
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ -0,0001
⇔ (4/(4 + n))4 ≤ 0,0001
⇔ (4/(4 + n)) ≤ 0,0001(1/4)
Comme tout est positif là, on enlève le puissance 4 à gauche, en faisant puissance 1/4 à droite.
⇔ 4/(4 + n) ≤ 0,1
⇔ 4 ≤ 0,1 × (4 + n)
⇔ 4/0,1 ≤ 4 + n
⇔ 40 – 4 ≤ n
⇔ 36 ≤ n
⇔ n ≥ 36
36 est le plus petit entier naturel tel que qn ≥ 0,9999
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland