frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

1) Sur l’écran de votre calculatrice, tracer (P) et (D) et conjecturer le nombre de points d’intersection de (P) et (D).

Rédaction :

Ce n’est pas très précis. Je conjecture qu’il y a un point d’intersection entre (P) et (D).

2) Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection de (P) et (D).

Rédaction :

Je donne des noms aux deux fonctions associées à (P) et (D).

p(x) = -9x² + 60x – 80
d(x) = 5x + 4

Pour trouver les points d’intersection des deux courbes, il faut qu’elles sont la même hauteur (image) pour le le même “x”.
Je résous :

(P) et (D) se coupent quand
p(x) = d(x)
⇔ -9x² + 60x – 80 = 5x + 4
⇔ -9x² + 60x – 80 – (5x + 4) = 0
⇔ -9x² + 60x – 80 – 5x – 4 = 0
⇔ -9x² + 55x – 84 = 0

Δ = b² – 4ac
= 55² – 4 × (-9) × (-84)
= 3025 – 3024
= 1 > 0

Donc il y a deux solutions distinctes.

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-55 – √1)}/_{(2 × (-9))}
= ^(-56)/_((-18))
= ²⁸/₉

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-55 + √1)}/_{(2 × (-9))}
= ^(-54)/_((-18))
= 3

Du coup, (P) et (D) ony deux points d’intersection, en x = 3 et x = ²⁸/₉.

3) Déterminer la forme canonique de f :

Rédaction :

On a f(x) = 2x² + 2x – 24.
La forme canonique d’une fonction du second degré est :

x^S = α = abscisse du sommet
y^S = β = ordonnée du sommet

Ces coordonnées (x^S ; y^S) sont données par :

Ici a = 2, b = 2, c = -24.

x_S = ^-b/_2a = ^-2/_(2×2)
= ^-2/₄
= ^-1/₂

Δ = b² – 4ac
= 2² – 4 × 2 × (-24)
= 4 + 4 × 2 × 24
= 4 + 192
= 196

y_{S = ^-Δ/4a = ^-196/(4×2)
= ^-196/8
= ^-49/2}

Donc les coordonnées du sommet S sont (2 ; –⁴⁹/₂).

On peut aussi calculer y_S avec
f(x_S) = f(^-1/₂) = 2 × ^(-1/₂₎² + 2 × ^(-1/₂₎ – 24
= 2 × ¹/₄ – 1 – 24
= ¹/₂ – ²/₂ – ⁴⁸/₂
= –⁴⁹/₂

4) Factoriser f(x) :

Rédaction :

Comme Δ est positif, il y a deux racines x1 et x2 (quand c’est nul, x1 = x2).
La forme factorisée d’un polynôme du second degré est :

Ici a = 2, b = 2, c = -24, Δ = 196

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-2 – √196)}/_{(2 × 2)}
= ^{(-2 – 14)}/₍₄₎
= ^-16/₄
= -4

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-2 + √196)}/_{(2 × 2)}
= ^{(-2 + 14)}/₍₄₎
= ¹²/₄
= 3

Donc la forme factorisée est f(x) = 2 × (x – (-4)) × (x – 3).

5) Coordonnées des points d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et avec l’axe des ordonnées :

Rédaction :

Les points d’intersections de (C) avec l’axe des abscisses, c’est quand f(x) = 0.
J’ai déjà résolu cette équation en 4).
C’est pour x = -4 et x = 3. Et leur ordonnée y vaut 0.
Donc ces points sont (0 ; -4) et (0 ; 3).

Si (C) coupe l’axe des ordonnées (ce qui donnera ce point d’intersection), c’est que l’abscisse x est égal à 0 car l’axe des ordonnées a pour équation x = 0.
Pour le calcul de l’ordonnée, je rassemble y = f(x) et x = 0, cela fait y = f(0).
y = f(0) = 2 × 0² +2 × 0 – 24
= -24.
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; -24).

6) Position de (C) par rapport à l’axe des abscisses :

(C) est au dessus de l’axe des abscisse quand f(x) > 0 et est en dessous quand f(x) < 0.

Comme a = 2 > 0 (ambiance/atmosphère positive : la parabole sourit), la parabole est tournée vers le haut.
Comme Δ > 0, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.
De plus, la trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.

Voici le tableau de position relative :

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland