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Tout le corrigé :
1) Montrer que f de formule
f : x → 1/(3x2 + 4)
est strictement croissante sur [−2 ; 0] et strictement décroissante sur [0 ; 2] :
Rédaction :
Je commence sur [−2 ; 0].
On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [−2 ; 0]. Je prends en compte les bornes de l’intervalle qui vont me donner des informations.
-2 ≤ a < b ≤ 0
⇔ (-2)2 ≥ a2 > b2 ≥ 02
(on change le sens des inégalités
car la fonction « carré » est décroissante sur [−2 ; 0])
⇔ 3×4 ≥ 3×a2 > 3×b2 ≥ 3×0
(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)
⇔ 12 + 4 ≥ 3×a2 + 4 > 3×b2 + 4 ≥ 0 + 4
(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)
⇔ 1/16 ≤ 1/(3×a2 + 4) < 1/(3×b2 + 4) ≤ 1/4
(on change le sens des inégalités car la fonction « inverse » est strictement décroissante sur [−2 ; 0])
⇔ 1/16 ≤ f(a) < f(b) ≤ 1/4
a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [−2 ; 0].
De même, sur [0 ; 2] :
On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [0 ; 2]. Je prends en compte les bornes de l’intervalle qui vont me donner des informations.
-2 ≤ a < b ≤ 0
⇔ 02 ≥ a2 < b2 ≥ 22
(on garde le sens des inégalités car la fonction « carré » est croissante sur [0 ; 2])
⇔ 3×0 ≤ 3×a2 < 3×b2 ≤ 3×4
(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)
⇔ 0 + 4 ≤ 3×a2 + 4 < 3×b2 + 4 ≤ 12 + 4
(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)
⇔ 1/4 ≥ 1/(3×a2 + 4) > 1/(3×b2 + 4) ≥ 1/16
(on change le sens des inégalités car la fonction « inverse » est strictement décroissante sur [0 ; 2])
⇔ 1/4 ≥ f(a) > f(b) ≥ 1/16
a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [0 ; 2].
Pour résumer, voici le tableau de variation de la fonction f :
2) Tableau de variations de g sur [−2 ; 2] avec
g(x) = − √f(x) + 1/2 :
Rédaction :
On peut rédiger de la même manière avec
a < b donne f(a) < f(b) ou f(a) > f(b)
mais je vais choisir la méthode des tableaux de variation.
Je reprends le tableau de variation de f et je lui applique la fonction « racine » car f(x) subit l’effet de la racine en premier lieu.
Les valeurs des fractions sont mises à la racine. Les 1 restent 1, 16 devient 4 et 4 devient 2.
Les variations ne changent pas car la fonction « racine » est strictement croissante sur R+.
On note que les contenus de la racine sont positifs : 1/4 et 1/16.
En second lieu, le nombre √f(x) est multiplié par (-1) en témoigne le « moins » devant lui. Comme on multiplie par un nombre négatif, les variations changent et les images sont aussi multipliées par (-1). Cela donne le tableau :
Enfin pour obtenir la fonction g, on ajoute 1/2 à l’ensemble. Comme on ajoute un nombre, les variations ne changent pas. Seules les valeurs se voient augmentées de 1/2 ci-dessous :
3) Encadrement de g(x) sur [−2 ; 2] :
On voit d’après la tableau de signe que
0 ≤ g(x) ≤ 1/4.
Il a été utile de calculer toutes les images des bornes des intervalles.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
