frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

1) f : x → -3x² sur ]-∞ ; 0] :

Rédaction de la méthode 1 :

On prend a < b ≤ 0 car on est sur ]-∞ ; 0].

a < b ≤ 0

⇔ a² > b² ≥ 0²
(on change le sens des inégalités car la fonction “carré” est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0])

⇔ -3a² < -3b² ≤ -3×0
(on change le sens des inégalités car on multiplie par un nombre négatif)

⇔ f(a) < f(b) ≤ 0

a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0].

Rédaction de la méthode 2 :

2) g : x → 2√(x) – 3 sur [0 ; +∞[ :

Rédaction de la méthode 1 :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [0 ; +∞[.

0 ≤ a < b

⇔ √(0) < √(a) ≤ √(b)
(on garde le sens des inégalités car la fonction “racine” est strictement croissante sur [0 ; +∞[)

⇔ 2√(0) < 2√(a) ≤ 2√(b)
(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ 0 – 3 < 2√(a) – 3 ≤ 2√(b) – 3
(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

-3 < f(a) ≤ f(b)

a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

Rédaction de la méthode 2 :

3) h : x → ¹/_|x| sur R^* :

Rédaction de la méthode 2 uniquement :

La fonction que l’on a là est l’inverse de la fonction absolue. Donc je représente les variations de la fonction “valeur absolue” ci-dessous.
D’après le cours, on obtient la première ligne :

Comme la fonction “inverse” est strictement décroissante sur R^– et sur R⁺. On change le sens des variations de la valeur absolue pour obtenir celles de h ci-dessus.

4) l : x → -1 + ( ¹/_{(2x + 4)} ) sur ]-2 ; +∞[ :

Rédaction de la méthode 1 :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [-2 ; +∞[.

-2 ≤ a < b

⇔ 2×(-2) < 2a ≤ 2b
(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ -4 + 4 < 2a + 4 ≤ 2b + 4
(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ 0 < 2a + 4 ≤ 2b + 4

(ici on a zéro à gauche, la partie gauche va disparaître quand on va passer à l’inverse)

⇔ ¹/_{(2a + 4)} ≥ ¹/_{(2b + 4)}

(on change le sens des inégalités car la fonction “inverse” est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. Ici on s’aperçoit que nos valeurs sont strictement au-dessus de zéro)

⇔ -1 + ¹/_{(2a + 4)} ≥ -1 + ¹/_{(2b + 4)}
(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ f(a) ≥ f(b)

a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [-2 ; +∞[.

Rédaction de la méthode 2 :

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland