Maths : exercice d’exponentielle avec continuité de terminale. Calculs de dérivées et de limite, variations, courbe représentative, tangente, fonction.
Exercice N°280 :
Exercice N°280 :
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f(x) = x + 1 + xe-x.
On note Cf la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (O ; →i ; →j) d’unité graphique 4 cm.
On désigne par f ‘ et f ‘ ‘ les dérivées première et seconde de f.
1) Justifier et calculer, pour tout réel positif, f ‘ et f ‘ ‘.
2) Étudier le sens de variation de la dérivée f ‘ sur [0 ; +∞[.
3) En déduire le signe de f ‘.
4) Calculer la limite de f en +∞.
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Déterminer l’équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 1.
7) Démontrer que l’équation f(x) = 2 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution notée α.
Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α à 10-3 près.
8) Construire la courbe Cf et la tangente (T).
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, continuité, terminale.
Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, algorithme, polynôme – Terminale