Maths : exercice avec suite auxiliaire de terminale. Raisonnement par récurrence, suite géométrique, raison, premier terme, calcul de limite.
Exercice N°163 :
Exercice N°163 :
On considère une droite D munie d’un repère (O ; →i).
Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie :
A0 est le point O.
A1 est le point d’abscisse 1.
Pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [AnAn+1].
1) Placer sur un dessin la droite D, les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6.
On prendra 10 cm comme unité graphique.
Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An.
2) Calculer a2, a3, a4, a5, et a6.
3) Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité :
an+2 = (an + an+1)/2.
4) Démontrer par récurrence, que pour tout entier n,
an+1 = (-1/2)an + 1.
Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
vn = an – 2/3.
5) Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison –1/2.
6) Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an).
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, suite auxiliaire, terminale.
Exercice précédent : Probabilités – Conditionnelles, arbre, loi, espérance – Terminale
