Exercices, probabilités conditionnelles avec urnes. Maths, arbre de probabilité, loi binômiale, espérance, variable aléatoire, événements.
Exercice N°162 :
Exercice N°162 :
On dispose de deux urnes U1 et U2.
L’urne U1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.
L’urne U2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de boules indiqué par le jeton.
On considère les évènements suivants :
J1 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 1.
J2 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 2.
J3 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 3.
J4 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 4.
B : toutes les boules tirées de l’urne U2 sont blanches.
On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 5) où une valeur arrondie à 10-2 près.
1) Calculer PJ1(B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.
Calculer de même la probabilité PJ2(B).
On admet dans la suite les résultats suivants :
PJ3(B) = 1/30
et PJ4(B) = 1/210.
2) Montrer que P(B), probabilité de l’évènement B, vaut 1/7.
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
3) On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?
On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
4) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?
5) Quelle est l’espérance et la variance de N ?
6) Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).
On décide de faire un jeu d’argent. Un joueur doit payer 10 euros pour rentrer dans la partie. La partie se déroule comme expliqué dans l’introduction.
* Si le joueur termine avec 4 boules blanches, il gagne 1000 euros.
* S’il termine avec 3 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 100 euros.
* S’il termine avec 2 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 50 euros.
* S’il termine avec 1 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 20 euros.
7) Ce jeu est-il favorable au joueur ?
(On pourra introduire la variable aléatoire X égale au gain algébrique du joueur.)
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Pour avoir le corrigé (57 centimes d’euros),
clique ici sur le bouton ci-dessous :
Pour avoir tous les corrigés actuels de ce chapitre (De 77 centimes à 1.97 euros selon le nombre d’exercices),
clique ici sur le bouton ci-dessous :
77 centimes pour 2 exercices – 97 cts pour 3 – 1.17€ pour 4 – 1.37€ pour 5 – 1.57€ pour 6 – 1.67€ pour 7 – 1.77€ pour 8 – 1.87€ pour 9 et 1.97€ pour 10 et +.
Mots-clés de l’exercice : exercices, probabilités conditionnelles, urnes.
Exercice précédent : Second degré – Fonction, courbe, variations, signes – Seconde