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Tout le corrigé :
1) Développer une expression, c’est transformer un produit (avec une multiplication comme opération centrale) en somme. Par exemple, x(3x + 6) vaut x “fois” (3x + 6). C’est un produit. Avec la distributivité, on peut transformer cette expression en somme.
k×(a + b) = k×a + k×b
Cela donne : x×3x + x×6.
2) Factoriser une expression, c’est transformer une somme (avec une addition ou soustraction comme opération centrale) en produit. Par exemple, 8x² – 5x est une somme avec “moins” (c’est-à-dire une différence ou soustraction). Avec la distributivité dans l’autre sens,
k×a + k×b = k×(a + b),
cela donne x×(8x – 5).
3) A(x) = (2x + 3)(5 – x) – (x + 3)(3x – 1)
On utilise la double-distributivité
(a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d.
= 2x×5 + 2x×(-x) + 3×5 + 3×(-x) – [ x×3x + x×(-1) + 3×3x + 3×(-1) ]
(Attention à bien mettre des crochets quand on développe après un moins)
= 10x – 2x² + 15 – 3x – [ 3x² – x + 9x – 3 ]
= 10x – 2x² + 15 – 3x – 3x² + x – 9x + 3
= -5x² – x + 18.
4) B(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) :
Ici on a trois facteurs à développer. Développons deux à deux en mettant un crochet autour des deux premières parenthèses.
= [(x – 1)(x – 2)](x – 3)
= [x² – 2x – x + 2](x – 3)
= [x² – 3x + 2](x – 3)
= x²×x + x²×(-3) + (-3x)×x + (-3x)×(-3) + 2x + 2×(-3)
= x3 – 3x² – 3x² + 9x + 2x – 6
= x3 – 6x² + 11x – 6.
5) M(x) = (4x – 7)(2x – 1) – (7x + 1)(1 – 2x) :
Ici, on reconnait presque un facteur commun à ceci prêt qu’il y a deux signes opposés : (2x – 1) et (1 – 2x).
On doit donc multiplier l’un des deux par (-1) : (1 – 2x) = (-1)(2x – 1)
On obtient donc :
M(x) = (4x – 7)(2x – 1) – (7x + 1)(-1)(2x – 1)
= (4x – 7)(2x – 1) – (-1)(7x + 1)(2x – 1)
= (2x – 1)[(4x – 7) –(-1)(7x + 1)]
= (2x – 1)[4x – 7 + 7x + 1]
= (2x – 1)[11x – 6]
6) N(x) = (5x – 1)(3x + 2) – 4 + 9x² :
Ici, il est difficile de savoir quoi faire. Il faut s’y connaître un peu.
Je reconnais des carrés à droite. On a 4 = 2² et 9x² = (3x)².
On pourrait avoir du a² – b² en forme développée mais il y a un plus entre les deux termes et un moins avant. Je propose donc de mettre d’abord le 9x² puis ensuite le -4 pour bien obtenir a² – b².
Donc N(x) = (5x – 1)(3x + 2) + 9x² – 4.
Maintenant, d’après a² – b², on obtient (a + b)(a – b).
= (5x – 1)(3x + 2) + (3x – 2)(3x + 2)
On voit le facteur commun (3x + 2). On peut factoriser avec k×(a + b).
= (3x + 2)×[ (5x – 1) + (3x – 2) ]
= (3x + 2)×[5x – 1 + 3x – 2]
= (3x + 2)×[8x – 3].
7) Q(x) = (x – 1)(2x – 3) + 3(4x + 1)(x – 1) :
Le facteur commun est (x – 1) donc on peut factoriser
de k×a + k×b vers k×(a + b).
= (x – 1)[ (2x – 3) + 3(4x + 1) ]
= (x – 1)[ 2x – 3 + 3×4x + 3×1 ]
= (x – 1)[ 14x ]
= 14x(x – 1).
8) (a + b)3
= (a + b)²(a + b)
= [ (a + b)² ](a + b)
= [ a² + 2ab + b² ](a + b)
= a3 + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b3
= a3 + 3a²b + 3ab² + b3.
9) (a – b)3
= (a – b)²(a – b)
= [ (a – b)² ](a – b)
= [ a² – 2ab + b² ](a – b)
= a3 – a²b – 2a²b + 2ab² + b²a – b3
= a3 – 3a²b + 3b²a – b3.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
