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Tout le corrigé :
1) Simplifier →u = →HF + →SU + →RS + →UH :
Quand tu as une expression vectorielle, regarde si tu peux aligner les mêmes lettres les unes après les autres. Si un vecteur se termine par C (par exemple), essaie de voir si tu peux en trouver un autre qui commence par C. Regroupe les comme ci-dessous :
Cela veut dire que si tu pars d’un point A vers un point C, et que tu repars de ce même point C vers le point B ;;; c’est comme si tu partais du point A directement vers le point B. C’est le même déplacement car même départ et même arrivée.
Du coup, avec →u, mets les vecteurs en ordre en rapprochant les mêmes points.
Rédaction :
→u = →HF + →SU + →RS + →UH
= →RS + →SU + →UH + →HF
= →RU + →UH + →HF
= →RH + →HF
= →;RF
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.
2) Simplifier →v = →OC – →OB + →AB :
Il y a un “moins-” devant ->OB ? Il faut un “plus+” pour refaire une éventuelle relation de Chasles. Pour cela, échange les lettres pour faire
–→OB = +→BO
Rédaction :
→v = →OC – →OB + →AB
= →OC + →BO + →AB
= →AB + →BO + →OC
= →AO + →OC
= →AC
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.
3) Avec ABCD parallélogramme de centre O, démontrer que 2→AB + 2→AD – →AC = 2→AO :
Il faut un dessin du parallélogramme ABCD.
Comme on veut arriver à du →AO, il faut transformer
le →AC en 2→AO car c’est une égalité du parallélogramme comme tu peux le voir sur le dessin.
De plus, la formule principale du parallélogramme donne :
On peut donc remplacer →AB par →DC dans l’expression pour ne plus avoir le B.
Rédaction :
On part du membre de gauche pour arriver au droit.
2→AB + 2→AD – →AC
= 2→DC + 2→AD – →AC (car ABCD est un parallélogramme)
= 2→DC + 2→AD – 2→AO (car O est le milieu de [AC])
= 2→AD + 2→DC – 2→AO
= 2(→AD + →DC) – 2→AO
= 2→AC – 2→AO
= 2×2→AO – 2→AO (car O est le milieu de [AC])
= 2→AO.
On arrive au membre de droit. Donc on a bien :
2→AB + 2→AD – →AC = 2→AO.
4) Avec 3→MA + →MB = →0,
exprimer →AM en fonction de →AB :
Ici, on veut obtenir →AM et →AB à partir des vecteurs →MA et →MB.
→AM et →MA sont opposés.
Mais dans →MB, il n’y a ni →AM, ni →AB. Il manque le point A.
Quand il manque un point, il faut l’insérer avec la relation de Chasles.
Ici →MB = →MA + →AB.
Rédaction :
3→MA + →MB = →0
⇔ -3→AM + →MB = →0
⇔ -3→AM + →MA + →AB = →0
⇔ -3→AM – →AM + →AB = →0
⇔ -4→AM + →AB = →0
⇔ -4→AM = –→AB
⇔ →AM = 1/4→AB (en divisant par -4).
5) Placer le point M sur une figure :
Rédaction :
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
