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Tout le corrigé :
1) Déterminer la forme canonique de f :
Rédaction :
La forme canonique de f est donnée par cette formule :
xS = α = abscisse du sommet
yS = β = ordonnée du sommet
Ces coordonnées (xS ; yS) sont données par :
Ici a = 3, b = -12, c = -15.
xS = -b/2a = -(-12)/(2×3)
= 12/6 = 2
Δ = b2 – 4ac
= (-12)2 – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324
yS = -Δ/4a = -324/(4×3)
= -324/12 = -27
Donc les coordonnées du sommet S sont (2 ; 27).
On peut aussi calculer yS avec
f(xS) = f(2) = 3 × 22 – 12 × 2 – 15
= 12 – 24 – 15
= -27.
Du coup, la forme canonique est :
f(x) = 3(x – 2)2 – 27.
2) Déterminer les solutions de l’équation f(x) = 0 :
Rédaction :
f(x) = 0
⇔ 3x2 – 12x – 15 = 0
J’ai a = 3, b = -12, c = -15.
Je calcule Δ = b2 – 4ac
= (-12)2 – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324 > 0.
Donc on a deux racines x1 et x2 :
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-(-12) – √324)/(2 × 3)
= (12 – 18)/(6)
= -6/6
= -1
x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-(-12) + √324)/(2 × 3)
= (12 + 18)/(6)
= 30/6
= 5
Donc S = {-1 ; 5}.
3) Coordonnées du point d’intersection de Cf et de l’axe des ordonnées :
Rédaction :
Si Cf coupe l’axe des ordonnées (ce qui donnera ce point d’intersection), c’est que l’abscisse x est égal à 0 car l’axe des ordonnées a pour équation x = 0.
Pour le calcul de l’ordonnée, je rassemble y = f(x) et x = 0, cela fait y = f(0).
y = f(0) = 3 × 02 – 12 × 0 – 15
= – 15.
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; – 15).
4) Dresser le tableau de variation de f puis allure de Cf :
Rédaction :
Comme on a les coordonnées du sommet, on sait où s’arrêtent les flèches.
Regardons le signe de “a”. C’est 3 donc il est positif.
(Hors-rédaction : l’atmosphère/ambiance est positive, la parabole sourit.)
Pour notre fonction ici présente :
Voici l’allure de la courbe en reprenant les deux points d’intersection avec l’axe des abscisses (abscisses solutions de l’équation f(x) = 0), le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, le sommet, et un point symétrique à droite.
PS : je n’ai pas pris le repère donné.
5) Pour chacune de ces fonctions, indiquer laquelle des paraboles la représente :
Rédaction :
Chacune des quatre paraboles a un sommet différent, calculons les abscisses de ces sommets avec les expressions et la formule -b/2a.
g :
xS = -b/2a = -1/(-2×1/2)
= -1/(-2/2)
= +1/(+1)
= 1
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C3.
h :
xS = -b/2a = -(-2)/(2×2/4)
= 2/(2/4)
= 2/(1/2)
= 2 × 2/1
= 4
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C1.
k :
xS = -b/2a = -(-2)/(-2×1/3)
= 2/(-2/3)
= 2 × –3/2
= -3
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C2.
l :
xS = -b/2a = -1/(2×1/4)
= -1/(2/4)
= -1/(1/2)
= -1 × 2/1
= -2
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C4.
Je récapitule :
(g ; C3) (h ; C1) (k ; C2) (l ; C4)
6) Résoudre graphiquement l’inéquation g(x) > h(x) :
Rédaction :
Pour résoudre graphiquement g(x) > h(x), je dois regarder quand la courbe Cg est strictement au dessus de celle de Ch.
C’est à dire quand C3 est au strictement au dessus de C1.
J’entoure les portions de courbe, je descends au niveau des abscisses.
Cela arrive pour les valeurs de x entre 0 et 4.
Donc S = ]0 ; 4[, j’exclus les valeurs 0 et 4 car l’inégalité est stricte.
7) Résoudre les équations suivantes :
4x2 – 9 = 0
⇔ (2x)2 – 32 = 0 (de la forme a2 – b2)
⇔ [(2x) – 3][(2x) + 3] = 0 (en factorisant avec (a-b)(a+b))
Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
⇔ (2x – 3) = 0 ou (2x + 3) = 0
⇔ 2x = 3 ou 2x = -3
⇔ x = 3/2 ou x = -3/2
S = {-3/2 ; 3/2}
2x2 – 7x = 0
⇔ 2x × x – 7 × x = 0 (de la forme A×K – B#x000d7; K)
⇔ x × (2x – 7) = 0 (de la forme K #x000d7; (A – B))
Un produit de facteurs est nul si au moins de ses facteurs est nul.
⇔ x = 0 ou 2x – 7 = 0
⇔ x = 0 ou 2x = 7
⇔ x = 0 ou x = 7/2
S = {0 ; 7/2}
2004x2 + x – 2005 = 0
Impossible de factoriser ici.
Δ = b2 – 4ac
= 12 – 4 × 2004 × (-2005)
= 1 + 4 × 3 × 15
= 1 + 16072080
= 16072081 > 0.
Donc on a deux racines x1 et x2 :
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1 – √16072081)/(2 × 2004)
= (-1 – √16072081)/4008
x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1 + √16072081)/(2 × 2004)
= (-1 + √16072081)/4008
Donc S = {(-1 – √16072081)/4008 ; (-1 + √16072081)/4008}.
(-3/4)x2 + 2x – 5 = 0
Impossible de factoriser ici.
Δ = b2 – 4ac
= 22 – 4 × (-3/4) × (-5)
= 4 – 3 × 5 (les 4 s’annulent)
= 4 – 15 = -9 < 0
Donc pas de solution.
(3x2 + 10x + 8)/(x + 2) = 2x + 5
On a des fractions dans cette équation donc on passe tout à gauche.
Déjà, on ne peut pas diviser par 0, donc x+2 est différent de 0, donc -2 est valeur exclue de l’ensemble de définition de l’équation.
⇔ (3x2 + 10x + 8)/(x + 2) – 2x + 5 = 0
⇔ (3x2 + 10x + 8)/(x + 2) – ((2x + 5)×(x + 2))/(x + 2) = 0
(en mettant au même dénominateur)
⇔ (3x2 + 10x + 8 – (2x + 5)×(x + 2))/(x + 2) = 0
(en soustrayant les numérateurs)
⇔ (3x2 + 10x + 8 – [(2x + 5)×(x + 2)])/(x + 2) = 0
(attention au “moins-” donc je mets des crochets)
⇔ (3x2 + 10x + 8 – [2x × x + 2x × 2 + 5 × x + 5 × 2])/(x + 2) = 0
⇔ (3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])/(x + 2) = 0
⇔ (3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])/(x + 2) = 0
⇔ (3x2 + 10x + 8 – 2x2 – 4x – 5x – 10)/(x + 2) = 0
⇔ (x2 + x – 2)/(x + 2) = 0
(Une fraction est nulle si et seulement si le numérateur est nul (mais pas le dénominateur), on peut donc enlever le dénominateur).
⇔ x2 + x – 2 = 0 et x différent de -2 d’après le domaine de définition de l’équation (valeur exclue).
Δ = b2 – 4ac
= 12 – 4 × 1 × (-2)
= 1 + 8
= 9 > 0
Donc on a deux racines x1 et x2 :
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1 – √9)/(2 × 1)
= (-1 – 3)/(2)
= (-4)/(2)
= -2
x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1 + √9)/(2 × 2004)
= (-1 + 3)/(2)
= (2)/(2)
= 1
La valeur -2 est exclue car elle n’est pas dans le domaine de définition de cette équation donc S = { 1 }.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
