Exponentielle – Équation, continuité, suite, récurrence – Terminale

novembre 13th, 2021

Category: Équations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale

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Exercice de maths sur la fonction exponentielle, suite, récurrence, terminale, continuité, équations, convergence, raisonnement, variations.

Exercice N°284 :

Exponentielle, continuité, suite, récurrence, terminale

Exercice N°284 :

Le but de l’exercice est de démontrer que l’équation (E)
xex = 1
admet une unique solution dans l’ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

Existence et unicité de la solution :

On note f la fonction définie sur R par
f(x) = x − e−x.
1) Démontrer que x est solution de l’équation (E)
si et seulement si f(x) = 0.

2) Étudier le sens de variation de la fonction f sur R.

3) En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée α.

4) Justifier que α appartient à l’intervalle [1/2 ; 1].

5) Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α].

Deuxième approche :

On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

Exponentielle, continuité, suite, récurrence, terminale.

6) Démontrer que l’équation f(x) = 0 est équivalente à l’équation
g(x) = x.

7) En déduire que α est l’unique réel vérifiant g(x) = x.

8) Calculer g ‘ (x) et en déduire que la fonction g est croissante sur [0 ; α].

Construction d’une suite de réels ayant pour limite α :

On considère la suite (un)n∈N définie par
u0 = 0 et,
pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

9) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α

10) En déduire que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.

11) Justifier l’égalité g(l) = l et en déduire la valeur de l.

12) A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : exponentielle, suite, récurrence, terminale.

Exercice précédent : Exponentielle – Fonctions, suite, continuité, limite – Terminale

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