Exercice de maths de terminale sur la limite, l’exponentielle, suite, continuité. Dérivée, tableau de variation, fonction, démonstration.
Exercice N°283 :
Soit n un entier naturel.
On note fn la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par :
fn(x) = e−nx/(1 + e−x).
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal
(O ; →i ; →j).
Les courbes C0, C1, C2 et C3 sont représentées ci-dessus.
1) Démontrer que pour tout entier naturel n, les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.
Étude de la fonction f0 :
2) Étudier le sens de variation de f0.
3) Préciser les limites de la fonction f0 en −∞ et +∞. Interpréter graphiquement ces limites.
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f0 sur R.
5) Démontrer que l’équation f0(x) = 0,8 a une solution unique α sur R. Déterminer une valeur approchée à 10−1 près de α.
Étude de la fonction fn pour n ≥ 2 :
6) Vérifier que pour tout entier naturel n ≥ 2 et pour tout nombre réel x, on a :
fn(x) = 1/( enx + e(n−1)x ).
7) Étudier les limites de la fonction fn en −∞ et +∞.
8) Calculer la dérivée x → fn ‘ (x) et dresser le tableau de variation de la fonction fn sur R.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : limite, exponentielle, suite, continuité.
Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, suite, variation, somme – Terminale
