Exercice de maths de terminale avec fonction, dérivée, limite, tableau de variation, suite, somme géométrique, exponentielle, convergence.
Exercice N°282 :
Exercice N°282 :
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f(x) = x/(ex−1).
On rappelle que la fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur R vérifiant :
{ g ‘ (x) = g(x) pour tout x ∈ R et g(0) = 1.
1) Démontrer que limh→0 (eh − 1)/h = 1.
2) Déterminer la limite de la fonction f en 0.
3) Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
4) Calculer f ‘ (x), pour x ∈ ]0 ; +∞[.
Soit N la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
N(x) = ex − xex − 1.
5) Calculer N ‘ (x) et en déduire les variations de N sur ]0 ; +∞[.
6) Calculer N(0) et en déduire que N est négative sur ]0 ; +∞[.
7) En déduire le tableau de variations de f.
Soit (un) la suite définie pour tout n entier supérieur ou égal à 1 par :
un = (1/n)[ 1 + e1/n + e2/n + e3/n + … + e(n – 1)/n ].
8) Démontrer que
1 + e1/n + e2/n + e3/n + … + e(n – 1)/n = (1 – e)/(1 – e1/n).
9) Puis en déduire que un = (e − 1)f(1/n).
10) En déduire en utilisant les premières questions que la suite (un) converge vers e − 1.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : suite, somme géométrique, exponentielle.
Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, continuité, signe, variation – Terminale
