Optimisation – Dérivation, boîte de berlingots pour Noël – Première

avril 22nd, 2022

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Géométrie 2D/3D et Repérage, Polynômes et Rationnelles, Première

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Maths de première : exercice de dérivation avec optimisation de volume. Calcul, surface, tableaux de signe et de variation, maximum.

Exercice N°043 :

Exercice, dérivation, optimisation volume, fonctions, géométrie, racine, variation

Exercice N°043 :

Un vendeur de berlingots veut faire fabriquer une nouvelle boîte de présentation pour Noël. Elle aura la forme d’un prisme droit dont deux des faces sont deux rectangles de 20 cm de longueur sur 5 cm de largeur.

Exercice, dérivation, optimisation volume, fonctions, géométrie, racine, variation, prisme droite à base triangulaire

Une section de ce prisme par un plan perpendiculaire à la face BCDE est le triangle ABC isocèle en A. La longueur BC = x représente l’écartement entre les deux rectangles.

Le but du problème est de déterminer x tel que le volume de cette boîte soit le plus grand possible.

1) Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

2) Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de x.

3) Exprimer le volume du prisme V en fonction de x.

Soit la fonction f définie sur [0 ; 10] par
f(x) = x2(100-x2).

4) Étudier le sens de variations de f.

5) Pour quelles valeurs de x, f admet-elle un maximum ?

6) Vérifier que
V(x) = 5 × √f(x).

7) En utilisant les variations de f,
déterminer les variations de la fonction V sur [0 ; 10].

8) En déduire les dimensions maximales de la boîte de berlingots ayant le plus grand volume et donner la valeur de ce volume maximal.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivation, optimisation, volume.

Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, étude classique d’une fonction – Première

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