frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Maths de première sur l’étude d’une fonction. Exercice de dérivation avec tangente parallèle. Variation, équation, courbe dans un repère.

Exercice N°042 :

Exercice N°042 :

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = 2 – ^{2(1 – x)}/_{(x² + 1)}

On note C_f sa courbe représentative.

1) Calculer f ‘ (x).
Vérifier que f ‘ (x) = ^{-2(x2 – 2x – 1)}/_{(x² + 1)²} .

2) Étudier le signe de f ‘ (x) puis dresser le tableau de variations de f.
On ne demande pas les valeurs exactes des extremums mais une valeur arrondie aux centièmes.

3) Déterminer l’équation de la tangente T à C_f au point A d’abscisse 1.

4-5-6) On veut montrer qu’il existe un point B de C_f tel que la tangente à C_f en B soit parallèle à la droite Δ d’équation y = -x :

4) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation
x⁴ + 4x + 3 = 0.

5) Vérifier que x⁴ + 4x + 3 = (x + 1)²(x² – 2x + 3).

6) Conclure sur ce qu’on veut montrer en 4-5-6).

7) Construire la courbe C_f dans le repère ci-dessous ainsi que ses tangentes.

8) Résoudre f(x) = 0 et interpréter graphiquement.

9) Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre C_f
et la droite D d’équation y = 2,
puis la position relative entre C_f et D. Tracer D.

10) Démontrer que la fonction f est minorée par -1 sur R,
c’est-à-dire que f(x) ≥ -1 pour tout x ∈ R.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivation, tangente parallèle.

Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, production de mini-dinosaures – Première