Maths de première : exercice de dérivée de quotient avec système. Fonction, variation, tangente, application, coût de production.
Exercice N°041 :
Exercice N°041 :
Partie A :
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ et on note Cf sa courbe représentative.
Cf passe par le point A de coordonnées (1 ; 1). Cf admet la droite (d) d’équation
y = -x + 2 pour tangente au point A.
1) En utilisant les données du texte et en justifiant la réponse, déterminer
f(1) et f ‘ (1).
f est de la forme
f(x) = (x2 + ax + b)/x.
2) Exprimer f ‘ (x) en fonction des coefficients a et b.
3) En déduire la valeur des coefficients a et b.
Partie B :
On suppose pour la suite que a = -2 et b = 2
et on a alors
f(x) = (x2 – 2x + 2)/x
définie sur ]0 ; +∞[.
4) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. Donner la valeur exacte du minimum et donner sa valeur arrondie aux centièmes.
5) Déterminer l’équation réduite de la tangente (d1) à la courbe au point d’abscisse 2.
6) Dans le repère ci-dessous tracer Cf, (d) et (d1).
Partie C :
Une compagnie fabrique des mini-dinosaures en caoutchouc.
La fonction f représente le coût moyen unitaire de production en fonction du nombre x de milliers de mini-dinosaures produits par jour, c’est à dire le coût de production d’un millier de mini-dinosaures quand la compagnie en produit x milliers par jour.
On suppose que toute la production est vendue et que chaque mini-dinosaure est vendu 2 euros.
7) Déterminer le nombre de mini-dinosaures arrondi à l’unité que la compagnie doit produire chaque jour, pour que le coût moyen de production soit minimum.
8) Quel est alors le bénéfice journalier de cette compagnie ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivée, quotient, système.
Exercice précédent : Géométrie et Equations – Aire d’un quadrilatère – Seconde
