Maths de première : exercice d’algorithme avec suite arithmétique, premier terme, raison, boucle pour, tant que, entrée, sortie, variables.
Exercice N°729 :
Exercice N°729 :
Dans une casserole déjà chaude, on met à midi pile de l’eau à température ambiante 18 °C et on place un couvercle dessus. Chaque minute la température augmente de 1.7 °C.
Soit tn la suite donnant la température de l’eau au bout de n minute(s) après midi.
1) Montrer que la suite tn est une suite arithmétique. Lis la suite »
Exercice : Clic droit vers l’exercice
Tout le corrigé :
1) Je saisis N = 3.
U = 0.
Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour
Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour
Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour
Pas de nouvelle boucle
Afficher U : 29.
2) u1 = u0+1 = 3u0 – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).
u2 = u1+1 = 3u1 – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).
3) Initialisation :
u0 = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit uk ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que uk+1 ≥ k+1.
Je fais “par construction”.
uk ≥ k
⇔ 3uk ≥ 3k
⇔ 3uk – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3uk – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ uk+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ uk+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.
Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
“un ≥ n” est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.
4) En regardant les données, on sait que un ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les un sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (un) tend aussi vers +∞.
5) Pour déterminer la variation de (un), j’étudie le signe de un+1 – un.
Donc un+1 – un = 3un – 2n + 3 – un
= 2un – 2n + 3
De plus, un ≥ n.
Donc 2un – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc un+1 – un ≥ 3 > 0.
Comme un+1 – un est strictement positif, la suite (un) est strictement croissante.
6) Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
vn+1 = q × vn.
Alors je commence par :
Pour tout n, vn+1 = un+1 − (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3un – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (un – n + 1)
= 3 × vn.
Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, vn+1 = q × vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = u0 – 0 + 1 = 1.
Donc vn = v0×qn
= 1 × 3n = 3n.
7) vn = 3n et
vn = un − n + 1
Donc 3n = un − n + 1
Donc 3n + n – 1 = un.
8) C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N0,
tel que pour tout n ≥ N0,
un > A.
Ici ce A est 10p et ce N0 est N.
9) 10 < 27 donc
10 < 33 donc
10p < (33)p
10p < 33p
10p < 33p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10p < u3p
On a déjà dépassé 10p avec 3p donc N ≤ 3p.
10) 1 + 0 – 1 = 0 < 1000
3 + 1 – 1 = 3 < 1000
9 + 2 – 1 = 10 < 1000
27 + 3 – 1 = 29 < 1000
81 + 4 – 1 = 94 < 1000
243 + 5 – 1 = 247 < 1000
729 + 6 – 1 = 734 < 1000
2187 + 7 – 1 = 2193 > 103
L’entier N est 7.
11) On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer un
tant qu’il est < que 10p.
Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3N + N – 1 < 10p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
Exercice de maths de première sur l’algorithme et suite arithmétique et suite géométrique. Forme récurrente et explicite.
Exercice N°134 :
Le gérant d’un parc d’attractions note chaque année le nombre de visiteurs. Il obtient les résultats suivants:
On note u0 le nombre de visiteurs en 2015, u1 le nombre de visiteurs en 2016 et u2 le nombre de visiteurs en 2017.
1) Les nombres u0, u1 et u2 forment-ils une suite arithmétique? Lis la suite »
Exercice de maths de première sur l’algorithme de second degré avec si, alors, conditions, sinon. Variables et calcul, affectations.
Exercice N°036 :
On considère l’équation du second degré suivante :
mx2 – p = 0.
Voici un algorithme permettant de résoudre cette équation en fonction des paramètres m et p.
1) Compléter les pointillés de cet algorithme. Lis la suite »
Maths de première : exercice d’algorithme, valeur absolue, fonction avec condition si alors, tableau et courbe, expression, repère.
Exercice N°038 :
On considère la fonction f définie sur R par
f(x) = | (1/3)x2 + 2x − 1 |.
1) Compléter le tableau de valeurs de f (ci-dessous). On donnera les résultats sous forme d’entiers ou de fractions irréductibles. Lis la suite »
Maths de première sur un exercice d’algorithme avec suite récurrente. Boucle tant que, seuil, tableau de variable, affectations, conditions.
Exercice N°037 :
On considère l’algorithme suivant :
1) Appliquer cet algorithme en complétant autant que nécessaire le tableau suivant : Lis la suite »
Exercice de maths de première d’algorithme de trigonométrie avec mesure principale, cercle, angle, conditions, boucle, entrée.
Exercice N°113 :
On considère l’algorithme ci-dessus.
1) Appliquer cet algorithme en complétant le tableau suivant : Lis la suite »
Exercice, arbre, suite géométrique. Maths de terminale avec les probabilités conditionnelles. Raison, premier terme, limite, algorithme.
Exercice N°321 :
Exercice N°321 :
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2.
On note, pour tout entier naturel non nul n,
An l’événement “la n-ième cible est atteinte”.
–An l’événement “la n-ième cible n’est pas atteinte”. – est “barre”.
an la probabilité de l’événement An.
bn la probabilité de l’événement –An.
1) Calculer a1 et b1, puis calculer a2 et b2 (on pourra utiliser un arbre pondéré). Lis la suite »
Exercice de maths sur les probabilités conditionnelles. Arbre pondéré, sachant, algorithme, loi binomiale, terminale, tirage avec remise.
Exercice N°178 :
Écrivez les résultats en fractions irréductibles.
Un club de tennis comporte 500 adhérents dont 300 hommes. Le tennis, en compétition, est pratiqué par 30 % des hommes et 20 % des femmes.
Les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir.
On choisit, au hasard, un adhérent. On note les événements :
– F : “l’adhérent est une femme”,
– C : “l’adhérent pratique la compétition”.
1) Indiquer la valeur de P(F). Lis la suite »
Maths de terminale : exercice de suite, algorithme, convergence. Tableau de variables, signe, raisonnement par récurrence, variation.
Exercice N°169 :
On considère l’algorithme précédent.
1) Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4, b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième. Lis la suite »
