frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Maths de terminale : exercice de suite, algorithme, convergence. Tableau de variables, signe, raisonnement par récurrence, variation.

Exercice N°169 :

On considère l’algorithme précédent.

1) Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4, b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième.

Tableau :

n	a	b	u	v
0	4	9
1
2

Dans la suite, a et b sont deux réels tels que
0 < a < b.
On considère les suites (u_n) et (v_n) définies par :
u₀ = a,
v₀ = b
et, pour tout entier naturel n :

u_n+1 = ^{( u_n + v_n )}/₂

v_n+1 = √( ^{( u_n² + v_n² )}/₂ )

2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
u_n > 0 et v_n > 0.

3) Démontrer que, pour tout entier naturel n :
v_n+1² – u_n+1² = ( ^{( u_n – v_n )}/₂ )².

4) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a
u_n ≤ v_n.

5) Démontrer que la suite (u_n) est croissante.

6) Comparer v_n+1² et v_n².
En déduire le sens de variation de la suite (v_n).

7) Démontrer que les suites (u_n) et (v_n) sont convergentes.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, suite, algorithme, convergence.

Exercice précédent : Suites – Fonction, limite, récurrence et algorithme – Terminale