Maths de terminale : exercice de suite avec fonction, algorithme. Tableau de variation, limite, raisonnement par récurrence, démonstration.
Exercice N°168 :
L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie sur N par
u0 = 3
et pour tout entier naturel n,
un+1 = 1/2(un + 7/un) (⋆)
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n,
un > 0.
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f(x) = (1/2)(x + 7/x) = (1/2)(x² + 7)/x.
1) Établir le tableau de variation de f.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout n entier :
√7 < un+1 < un.
Préciser alors le sens de variation de la suite (un).
3) Montrer que la suite (un) est convergente vers une limite l.
On déduit de la relation (*) que la limite l de cette suite est
telle que
l = 1/2(l + 7/l).
4) Déterminer l.
5) Démontrer que pour tout entier naturel n,
un+1 − √7 = (1/2)(un − √7)²/un.
On définit la suite (dn) par :
d0 = 1
et pour tout entier naturel n,
dn+1 = (1/2)dn2
6) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
un− √7 ≤ dn.
Si, dans l’algorithme du haut de l’exercice, on entre la valeur 9 en entrée, l’algorithme affiche le nombre 5 en sortie.
7) Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?
8) Justifier que u5 est une valeur approchée du nombre √7 à 10−9 près.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, suite, fonction, algorithme.
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