frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

1) Je saisis N = 3.

U = 0.

Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour

Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour

Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour

Pas de nouvelle boucle

Afficher U : 29.

2) u₁ = u₀₊₁ = 3u₀ – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).

u₂ = u₁₊₁ = 3u₁ – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).

3) Initialisation :
u₀ = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.

Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit u_k ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que u_k+1 ≥ k+1.

Je fais “par construction”.
u_k ≥ k
⇔ 3u_k ≥ 3k
⇔ 3u_k – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3u_k – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ u_k+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ u_k+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.

Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
“u_n ≥ n” est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.

4) En regardant les données, on sait que u_n ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les u_n sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (u_n) tend aussi vers +∞.

5) Pour déterminer la variation de (u_n), j’étudie le signe de u_n+1 – u_n.

Donc u_n+1 – u_n = 3u_n – 2n + 3 – u_n
= 2u_n – 2n + 3
De plus, u_n ≥ n.
Donc 2u_n – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc u_n+1 – u_n ≥ 3 > 0.
Comme u_n+1 – u_n est strictement positif, la suite (u_n) est strictement croissante.

6) Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
v_n+1 = q × v_n.

Alors je commence par :
Pour tout n, v_n+1 = u_n+1 − (n+1) + 1
= 3u_n – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3u_n – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3u_n – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (u_n – n + 1)
= 3 × v_n.

Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, v_n+1 = q × v_n. Donc (v_n) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v₀ = u₀ – 0 + 1 = 1.

Donc v_n = v₀×qⁿ
= 1 × 3ⁿ = 3ⁿ.

7) v_n = 3ⁿ et
v_n = u_n − n + 1

Donc 3ⁿ = u_n − n + 1
Donc 3ⁿ + n – 1 = u_n.

8) C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N₀,
tel que pour tout n ≥ N₀,
u_n > A.

Ici ce A est 10^p et ce N₀ est N.

9) 10 < 27 donc

10 < 3³ donc
10^p < (3³)^p
10^p < 3^3p
10^p < 3^3p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10^p < u_3p
On a déjà dépassé 10^p avec 3p donc N ≤ 3p.

10) 1 + 0 – 1 = 0 < 1000

3 + 1 – 1 = 3 < 1000

9 + 2 – 1 = 10 < 1000

27 + 3 – 1 = 29 < 1000

81 + 4 – 1 = 94 < 1000

243 + 5 – 1 = 247 < 1000

729 + 6 – 1 = 734 < 1000

2187 + 7 – 1 = 2193 > 10³
L’entier N est 7.

11) On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10^p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer u_n
tant qu’il est < que 10^p.

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3^N + N – 1 < 10^p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland