Exercice, arbre, suite géométrique. Maths de terminale avec les probabilités conditionnelles. Raison, premier terme, limite, algorithme.
Exercice N°321 :
Exercice N°321 :
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2.
On note, pour tout entier naturel non nul n,
An l’événement « la n-ième cible est atteinte ».
–An l’événement « la n-ième cible n’est pas atteinte ». – est « barre ».
an la probabilité de l’événement An.
bn la probabilité de l’événement –An.
1) Calculer a1 et b1, puis calculer a2 et b2 (on pourra utiliser un arbre pondéré).
2) Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1 :
an+1 = (3/4)an + (1/2)bn
puis
an+1 = (1/4)an + 1/2.
3) Écrire, en langage naturel, un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite.
On considère la suite (un) définie sur N* par :
un = an – 2/3
4) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
5) En déduire l’expression de un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.
6) Déterminer la limite de la suite (an).
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice: exercice, arbre, suite géométrique.
Exercice précédent : Fonctions – Définition, tableau de variation, équation – Première
