frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Je fais les calculs un par un à la calculette (ou avec le tableur). Puis je complète le tableau de la fonction
C(x) = x² + 20x + 900.

2) Je trace la représentation graphique de la fonction C en prenant 1 cm pour 10 unités en abscisses et 1 cm pour 1000 euros en ordonnées.

3) Pour calculer la recette R(x) obtenue avec la vente de x cartes (120 euros chacune), on fait la formule suivante :

Recette = Prix_unitaire × Quantité
Donc R(x) = 120 × x.

R(x) est une fonction affine. Pour tracer cette droite, je choisis moi-même deux valeurs x car il faut deux points pour tracer une droite.

Je choisis x = 20 et x = 80.

Pour x = 20,
y= R(10) = 120 × 20 = 2400.
Je dessine A(20 ; 2400).

Pour x = 80,
y= R(90) = 120 × 80 = 9600.
Je dessine B(80 ; 9600).

La droite représentant la recette passe toujours par l’origine. On le vérifie ici.

4) Pour exprimer le bénéfice B(x), on utilise la formule :

Donc B(x) = 120x – ( x² + 20x + 900 )
= 120x – x² – 20x – 900
Du coup, B(x) = – x² + 100x – 900.

5) La production est rentable si et seulement si le bénéfice est positif.
Etudions le signe de B(x) en faisant un tableau de signe.

Comme nous avons une fonction du second degré, calculons le discriminant Δ :

Δ = b² – 4ac
= 100² – 4 × (-1) × (-900)
= 10000 – 3600
= 6400 > 0.

On obtient donc deux racines :

x1 = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-100 – √6400)}/_{(2 × (-1))}
= ^{(-100 – 80)}/_(-2)
= ^(-180)/_(-2)
= 90.

x2 = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-100 + √6400)}/_{(2 × (-1))}
= ^{(-100 + 80)}/_(-2)
= ^(-20)/_(-2)
= 10.

Comme a vaut -1, il est donc négatif. Comme Δ > 0, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses et on aura des changements de signe.
Comme a est positif, la parabole est souriante donc le signe du polynôme du second degré est d’abord positif, puis négatif, puis positif.

Voici le tableau de signe :

B(x) est positif sur [10 ; 90] donc la production est rentable pour x allant 10 à 90 unités.

6) Pour vérifier graphiquement quand la production est rentable, je sélectionne le ou les morceau(x) de courbe quand la recette est supérieure au coût, c’est à dire quand la droite de la recette est au dessus de la parabole du coût.
Puis je descends verticalement vers l’axe des abscisses pour sélectionner le bon intervalle de production.

La zone entre la courbe du coût et la droite de la recette représente le bénéfice. Plus l’écart entre les deux courbes est important, plus le bénéfice est important.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

Donnée : P et P’ sont deux plans, d une droite de P et d’ une droite de P’.

1) Si P et P’ sont parallèles alors :

D’après le dessin, on peut avoir des droites non parallèles.
Si P et P’ sont confondues, les droites sont coplanaires.
Donc la réponse est : « on ne peut pas préciser la position relative de d et d' ».

2) Si d et d’ sont parallèles et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

C’est le théorème du toit, si deux droites de deux plans sécants sont parallèles, l’intersection de ces plans est une droite parallèle aux deux droites initiale.

Donc d, d’ et D sont parallèles.
Elles ne sont pas concourantes car ici elles ne se coupent pas.
Elles ne sont pas dans le même plan, donc elle ne sont pas coplanaires.

3) Si d et d’ sont sécantes et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

d et d’ ne peuvent pas être parallèles vu qu’elles sont sécantes. De plus, les trois droites ne sont pas coplanaires car ni parallèles, ni dans des plans confondus.

Par contre, comme d et d’ sont sécantes, elles se coupent à l’intersection des deux plans P et P’, donc sur D. Les trois droites sont concourantes.

Données : ABCDEFGH est un cube. On note I, J, K et L les milieux respectifs des arêtes [AB], [GC], [BF]. Soit P le centre de la face EFGH.

4) Les droites (IJ) et (KB) sont-elles :

Feuille 1 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 2 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 3 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 4 : Clic droit vers le corrigé

5) La droite (KB) est-elle :

Déjà (AI) appartient à ce plan (AIJ). Donc B, étant sur (AI), on peut appeler (AI) la droite (AB). Donc le plan (AIJ), c’est la même chose que le plan (ABJ).

B est dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être strictement parallèle à (ABG)=(AIJ).
K n’est pas dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être incluse dans le plan.
K n’est pas dans le plan, B l’est, donc (KB) est sécante au plan (ABG)=(AIJ) en B.

6) Le plan (EBK) coupe la face CDHG suivant quelle droite ?

La droite (EK) est sur incluse dans le plan (EBK), du coup (EH) aussi car c’est un prolongement de (EK). (EBH) est le même plan que (EBK).

En B, on peut prolonger le plan avec une droite parallèle à (EH). (BC) est parallèle à (EH). Donc le plan (EBH) peut être prolongé suivant (BC). Il devient (EBCH).

(CH) appartient au plan. (CH) appartient aussi à la face (CGHD). Donc les plans se coupent en (CH).
Conclusion : (EBK) coupent (CGHD) en (HC).

7) Le plan (PLJ) coupe la face ABCD suivant une droite parallèle à quelle droite ?

Je trace le triangle plan (PLJ). Je peux prolonger ce plan à partir du point P en prenant une parallèle à (LJ). Sur le dessin ci-dessous, en suivant les flèches vertes j’arrive sur deux points sur les arêtes qui permettent de dessiner le plan en rectangle.

On cherche les intersections du plan rectangle vert avec le plan au sol ABCD.

La première astuce est de prolonger le plan ABCD vers la droite en rallongeant les droites (AB) et (DC).

Pour trouver une droite d’intersection entre deux plans, il est utile de trouver deux points d’intersection et les relier.

Pour trouver un point d’intersection, une bonne idée est de choisir une face et de faire croiser deux droites sécantes : l’une appartenant à un plan, et l’autre appartenant à l’autre plan.

Dans notre cube, on a une droite verte et la droite (AB) au sol qui sont sur le plan de devant (la face ABFE). Si on prolonge la droite verte, on trouve le point d’intersection (rouge) avec (AB). C’est un point d’intersection des deux plans.

De même pour la face arrière DCHG, on prolonge la droite du plan vert qui va couper (DC). On note ce point en rouge qui est un second point d’intersection de (PLJ) avec (ABCD).

En reliant ces deux points rouges, on trouve la droite d’intersection de (PLJ) et (ABCD). Elle est parallèle à (LJ) et pas aux deux autres droites.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice.

Tout le corrigé :

1) Montrer que u₀ = 50 et u_n+1 = 0,95u_n + 3 :

Rédaction :

En 2010, la forêt contient 50 milliers d’arbres et c’est l’année (2010 + 0). Donc cela compte pour n = 0. Du coup, u₀ = 50.

A l’étape n (l’année 2010+n), on prend le nombre d’arbres, on en enlève 5%. Du coup, on multiplie le nombre actuel u_n par le coefficient multiplicateur 1-⁵/₁₀₀ = 0,95. On obtient u_n×0,95. Puis on fait repousser les 3 milliers : u_n×0,95 + 3 qui donne le nombre d’arbres l’année suivante soit u_n+1.
Donc pour tout n, u_n+1 = u_n×0,95 + 3.

2) Calculer u₁. Combien d’arbres comptera la forêt en 2011 :

Rédaction:

u₁ = u₀×0,95 + 3
= 50 × 0,95 + 3
= 47,5 + 3
= 50,5.

La forêt comptera 50500 arbres en 2011.

3) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,95 :

Rédaction :

Pour montrer que la suite (v_n) géométrique, je dois montrer que pour tout n,
v_n+1 = quelquechose × v_n
donc je commence par calculer :

Pour tout n, v_n+1 = 60 − u_n+1 (avec la nouvelle formule de v_n appliquée à n+1)
= 60 − (u_n×0,95 + 3) (en remplaçant u_n+1 par sa formule récurrente)
= 60 – u_n×0,95 – 3 (en distribuant le « moins- » sur chaque élément de la parenthèse enlevée)
= 57 – u_n×0,95
(L’astuce est maintenant de factoriser par le coefficient qui multiplie u_n.)

= 0,95 × (⁵⁷/_0,95 – u_n)
= 0,95 × (60 – u_n) (on retrouve la formule de v_n)
= 0,95 × v_n

Donc pour tout n, v_n+1 = 0,95 × v_n.

(Hors-rédaction : la phrase officielle)
Il existe q ∈ R (q = 0,95) tel que :
pour tout n ∈ N, v_n+1 = q × v_n,
donc (v_n) est une suite géométrique de raison q = 0,95
et de premier terme v₀ = 60 – u₀ = 60 – 50 = 10.

4) Calculer v₀. Déterminer v_n en fonction de n :

Rédaction :

J’ai calculé v₀ de manière spontanée dans la question 3).
v₀ = 10.

Lorsqu’on a le premier terme v_p et la raison q, la formule d’une suite géométrique est :

Ici, p = 0, v_p = v₀ = 10 et q = 0,95.
Donc pour tout n, v_n = 10 × 0,95ⁿ (car n-0 = n).

5) Démontrer que u_n = 60 − 10 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

D’après l’énoncé, v_n = 60 − u_n.
Donc v_n – 60 = −u_n (en soustrayant par 60)
-v_n + 60 = +u_n (en multipliant tout par (-1) pour enlever le « moins- » devant u_n).

Du coup, pour tout n,
u_n = 60 – v_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ.

6) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015 :

Rédaction :

2015 c’est 2010+5, donc c’est pour n = 5.
Le nombre d’arbres est u₅
= 60 – 10 × 0,95⁵
= 60 – 10 × 0,7737809375
= 60 – 7,737809375
= 52,262190625 milliers. Soit 52262 arbres en 2015.

7) Vérifier que u_n+1 − u_n = 0,5 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

Pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ⁺¹ – (60 – 10 × 0,95ⁿ)
= 60 – 10 × 0,95ⁿ×0,95¹ – 60 + 10 × 0,95ⁿ
(formule des puissances et en enlevant les parenthèses derrière le « moins-« )
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ)
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ×1)
= 10 × (0,95ⁿ × (-0,95¹ + 1))
(en factorisant par 0,95 dans la parenthèse)
= 10 × (0,95ⁿ × (0,05))
= 0,5 ×0,95ⁿ

8) En déduire la monotonie de la suite:

Rédaction :

Pour étudier si une suite est croissante ou décroissante, on détermine le signe de :

Ici pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 0,5 ×0,95ⁿ
0,5 est strictement positif et 0,95ⁿ est strictement positif, donc le produit est strictement positif.
Du coup, u_n+1 − u_n > 0, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

9) Déterminer la limite de (u_n). Interpréter :

Rédaction :

lim _{[n → +∞]} 0,95ⁿ = 0 car 0 < q < 1 (q = 0,95)

Par produit, lim _{[n → +∞]} -10×0,95ⁿ = 0 (car -10×0 = 0)

Par somme, lim _{[n → +∞]} (60 – 10×0,95ⁿ) = 60 (car 60 + 0 = 0).

Donc la limite de u_n est 60 et à long terme la forêt contiendra 60 milliers d’arbres.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Si un prix augmente de 4 %, puis baisse de 5 %, alors globalement ce prix a baissé :

Rédaction :

Pour faire des calculs de hausse et de baisse avec les pourcentages, on utilise les coefficients multiplicateurs.

Avec le dessin, on voit qu’on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur de hausse (1 + ⁴/₁₀₀) = 1,04. Puis on multiplie la valeur obtenue par le coefficient multiplicateur de baisse (1 – ⁵/₁₀₀) à 0,95 pour obtenir la valeur finale.
Cela revient à une multiplication finale de 1,04 × 0,95 = 0,988. J’obtiens un coefficient multiplicateur (CM) plus petit que 1 dont c’est une baisse. Vrai.

2) Une hausse de 25% est compensée par une baisse de 20 % :

Rédaction :

On fait comme à la question précédente.
(1 + ²⁵/₁₀₀) × (1 – ²⁰/₁₀₀)
= 1,25 × 0,8 = 1.
La hausse de 25% est donc bien compensée par la baisse de 20%. Vrai.

3) Si on diminue le côté d’un carré de 10 %, alors son périmètre diminue de 40 % :

Rédaction :

Cela revient à multiplier le côté par (1 – ¹⁰/₁₀₀) = 0,9.
Le périmètre, c’est quatre fois le côté donc le nouveau périmètre sera
4 × 0,9 × côté initial
= 4 × côté initial × 0,9
= périmètre initial × 0,9.
Ce qui représente une baisse de 10% là aussi.
En gros, si un côté diminue de taille, toutes les distances diminuent de la même taille. Ici, c’est 10%.

4) Si après une réduction de 20% un jeu coûte 28 €, alors son prix avant réduction était de 33,60 euros :

Rédaction :

Pour trouver la valeur finale à partir d’une valeur initiale connue, on multiplie par le coefficient multiplicateur.

Au contraire, pour retrouver la valeur initiale à partir de la valeur finale, on divise par le même coefficient multiplicateur.

Comme la réduction est de 20%, le CM (coefficient multiplicateur) est de (1 – ²⁰/₁₀₀) = 0,8.

Donc pour retrouver la valeur initiale, on fait
valeur_finale divisée par CM
= 28 / 0,8 = 35€.
Ce qui est différent de 33,6 euros. Faux.

5) 28 baisses successives de 1% correspondent à une baisse de 25% environ :

Rédaction :

Je fais le schéma habituel avec les flèches et les CM pour indiquer les 28 baisses de 1%.
CM = (1 – ¹/₁₀₀) = 0,99.

Cela revient donc à calculer le CM global
= 0,99 × 0,99 × 0,99 × … 0,99 × 0,99 (28 fois)
= 0,99²⁸
= 0,7547 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Comme le CM est plus petit que 1, c’est une baisse dont la formule est (1 – ^p/₁₀₀).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 – ^p/₁₀₀ = 0,7547
– ^p/₁₀₀ = 0,7547 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
– ^p/₁₀₀ = -0,2453
-p = -0,2453 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
-p = -24,53
p = 24,53 (on enlève les « moins-« )

La baisse est de 24,53% donc est bien proche de 25% en arrondissant. Vrai.

6) Le nombre d’habitants d’une ville était 157500 en 2002 et 139860 en 2006. Quel est le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 ? :

Rédaction :

Je dessine le dessin habituel avec les valeurs initiale et finale.

Du coup, 157500 × CM = 139860
CM = ¹³⁹⁸⁶⁰/₁₅₇₅₀₀ (en divisant de chaque coté par 157500)
CM = 0,888 (le coefficient multiplicateur est bien le taux d’évolution)

Le taux d’évolution de la population de 2002 à 2006 est de 0,888.

7) On admet que le chiffre d’affaire d’une entreprise augmentera régulièrement de 3,2% par an. Sur une période de 10 ans, quel sera son pourcentage d’augmentation ? :

Rédaction :

Je dessine les hausses successives de 3,2% avec le CM associé.
CM = (1 + ^3,2/₁₀₀) = 1,032

Cela revient donc à calculer le CM global
= 1,032 × 1,032 × 1,032 × … 1,032 × 1,032 (10 fois)
= 1,032¹⁰
= 1,3702 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + ^p/₁₀₀ = 1,3702 (je mets « plus+ » car c’est une hausse)
^p/₁₀₀ = 1,3702 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
^p/₁₀₀ = 0,3702
p = 0,3702 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 37,02

L’augmentation est de 37,02% sur une période de 10 ans.

8) Avec quel pourcentage de hausse est compensée une baisse de 25 % ? :

Rédaction :

Je fais le schéma de la baisse de 25% suivi de l’opération inverse (la hausse qui compense).
CM = (1 – ²⁵/₁₀₀) = 0,75.

Pour effectuer l’opération inverse d’une baisse ou d’une hausse, on prend le coefficient multiplicateur inverse. Multiplier par l’inverse ¹/_CM, c’est la même chose que diviser par CM.

¹/_CM = ¹/_0,75
= 1,3333 (CM de l’opération inverse).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + ^p/₁₀₀ = 1,3333 (je mets « plus+ » car c’est une hausse)
^p/₁₀₀ = 1,3333 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
^p/₁₀₀ = 0,3333
p = 0,3333 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 33,33

La baisse de 25% est compensé avec une hausse de 33,33%.

9) La population d’une ville a augmenté de 7% en 2004, de 5% en 2005 et de 6% en 2006. A quel pourcentage est égale l’augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 ? :

Rédaction :

Je fais le dessin des trois hausses ci-dessous.

Je calcule le CM global en faisant le produit
1,07 × 1,05 × 1,06
= 1,19091.

En soustrayant 1 et en multipliant par 100, cela donne une hausse globale de 19% sur 3 ans.

10) D’une année sur l’autre, un produit perd 10 % de sa valeur. Au bout de combien d’années le produit a-t-il perdu au moins 70 % de sa valeur initiale ? :

Rédaction :

Perdre 10% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – ¹⁰/₁₀₀) = 0,90.

Perdre 70% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – ⁷⁰/₁₀₀) = 0,30.

0,9 = 0,9 (un an de baisse à 10%)
0,9 × 0,9 = 0,81 (deux ans)
0,81 × 0,9 = 0,729 (trois ans)
0,729 × 0,9 = 0,6561 (quatre ans)
0,59049 (cinq)
0,531441 (six)
0,478 environ (sept)
0,43 environ (huit)
0,387 environ (neuf)
0,349 environ (dix)
0,314 environ (onze)
0,282 environ (douze).

On arrive en dessous du CM 0,30 après 12 ans. C’est à partir de là qu’on a perdu 70%.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) u₁ = 1.

u₂
= u₁₊₁ (donc n = 1)
= u₁ + (1 + 1)³
= 1 + 2³ = 1 + 8 = 9.

u₃
= u₂₊₁ (donc n = 2)
= u₂ + (2 + 1)³
= 9 + 3³ = 9 + 27 = 36.

u₄
= u₃₊₁ (donc n = 3)
= u₃ + (3 + 1)³
= 36 + 4³ = 36 + 64 = 100.

On remarque 1, 9, 36 et 100 sont des carrés.

2) Initialisation :
D’une part u₁ = 1.
D’autre part 1³ = 1.
On a bien u₁ = 1³.
J’ai prouvé l’initialisation.

Hérédité :
On suppose à un rang k entier donné que :
u_k = 1³ + 2³ + · · · + k³
(Hors rédaction : L’hypothèse de récurrence est une Donnée dans l’hérédité, il faudra donc la garder à l’esprit et l’utiliser. Tout comme l’autre donnée dans l’énoncé de l’exercice!)

Je vais montrer que u_k+1 = 1³ + 2³ + · · · + k³ + (k+1)³.

D’après la formule de la suite dans l’énoncé,
u_k+1 = u_k + (k + 1)³
En remplaçant le terme en « gras » d’après l’hypothèse de récurrence :
= 1³ + 2³ + · · · + k³ + (k + 1)³

Voilà, j’ai bien prouvé l’hérédité.

Conclusion :
J’ai prouvé l’initialisation à n = 1, et l’hérédité,
donc pour tout entier n ∈ N^∗,
u_n = 1³ + 2³ + · · · + n³.

3) Faisons à nouveau une récurrence.

Initialisation pour n = 1 :
On a par définition, u₁ = 1³.
Donc on a bien u₁ ≥ 1³ car l’inégalité est large.

Hérédité :
On suppose la propriété est vraie au rang n.
On a donc u_n ≥ n³.
Montrons que la propriété est vrai au rang (n+1).
Il faut montrer que u_n+1 ≥ (n + 1)³.

Je calcule u_n+1
= u_n + (n + 1)³ d’après les données.

Or u_n ≥ n³
donc u_n + (n + 1)³ ≥ n³ + (n + 1)³
(an ajoutant (n + 1)³ de chaque côté).

Donc u_n+1 ≥ n³ + (n + 1)³ ≥ (n + 1)³
car n³ est positif et on additionne.

Donc on a bien u_n+1 ≥ (n + 1)³.
Donc l’hérédité est vraie.

Conclusion :

On a prouvé l’initialisation et l’hérédité donc la propriété
u_n ≥ n³
est vraie pour tout entier strictement positif.

4) lim_{[n → +∞]}n³ = +∞ d’après le cours.
De plus, u_n > n³.

D’après le Théorème de Comparaison, la limite de u_n est plus grande que la limite de n³. Elle est donc forcément +∞.

5) D’après le cours,
1 + 2 + · · · + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂.

Donc S_n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂.

6) S₁ = 1.
S₂ = 1 + 2 = 3.
S₂ = 1 + 2 + 3 = 6.
S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

7) Les valeurs des quatre premiers S_n sont 1, 3, 6 et 10.
Les valeurs des quatre premiers u_n sont 1, 9, 36 et 100.

Les quatre premiers u_n sont les carrés des quatre premiers S_n.
Donc je conjecture que pour tout n ∈ N^∗,
u_n = S_n².

8) Initialisation :
Déjà fait dans la question 7 avec les quatre premiers u_n qui sont les quatre premiers carrés des S_n.

Hérédité :
Je suppose qu’à un rang k donné, u_k = S_k².
(Ceci est l’hypothèse de récurrence, c’est donc une donnée pour l’hérédité.)

Je vais montrer que : u_k+1 = S_k+1².

Je commence par u_k+1
= u_k + (k + 1)³
= S_k² + (k + 1)³ (avec l’hypothèse de récurrence)
= (^k(k+1))/₂)² + (k + 1)³ (avec la formule du cours vue en 5))
= (^k2(k+1)2/_2²) + (k + 1)(k + 1)²
(je mets le « carré » sur chaque facteur et diviseur de la fraction)
= ^{k2(k + 1)2}/_2² + (⁴/₄)(k + 1)(k + 1)²
(pour mettre au même dénominateur avec (k + 1)²)
= (k + 1)² × [^k2/_2² + ^{4(k + 1)}/₄]
= (k + 1)² × [^k2/_2² + ^{(4k + 4})/_2²]
= (k + 1)² × [^{(k2 + 4k + 4)}/_2²]
(on a la forme développée d’une identité remarquable avec a = k et b = 2)
= (k + 1)² × [^{(k2 + 2×k×2 + 22)}/_2²]
= (k + 1)² × [^{(k + 2)2}/_2²]
= [ (k + 1) × [^{(k + 1 + 1)}/₂] ]²
= S_k+1².

Voilà j’ai démontré que u_k+1 = S_k+1².
J’ai donc l’hérédité.

Conclusion :
J’ai prouvé l’initialisation et l’hérédité donc j’ai prouvé la propriété voulue pour tout n entier supérieur ou égal à 1.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Limite de u_n = n³ − 4n² + 7 :

Rédaction :

n³ tend vers +∞ et 4n² tend aussi vers +∞. Comme on soustrait +∞ par +∞, on obtient donc une forme indéterminée. Le +7 est une constante qui ne modifie rien à +∞.

Je factorise u_n par le monôme au degré le + élevé soit par n³.

u_n
= n³ × ( 1 – ⁴ⁿ²/_n³ + ⁷/_n³ )
= n³ × ( 1 – ⁴/_n + ⁷/_n³ )

lim_{[n → +∞]} 1 = 1
lim_{[n → +∞]} ⁴/_n = 0
lim_{[n → +∞]} ⁷/_n³ = 0

Par somme,
lim_{[n → +∞]}(1 – ⁴/_n + ⁷/_n³) = 1

De plus,
lim_{[n → +∞]} n³ = +∞

Par produit,
lim_{[n → +∞]} n³ × ( 1 – ⁴/_n + ⁷/_n³ ) = +∞

Donc lim_{[n → +∞]} u_n = +∞.

2) Limite de v_n = ⁿ²/_{(2n − 3)} :

Rédaction :

La limite du numérateur n² est +∞ et la limite du dénominateur 2n-3 est aussi +∞. On a donc +∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.

Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n²) et en bas par le monôme le plus élevé (n).

v_n
= ⁽ⁿ²⁾/_{(n × (2 – ³/n))}
= ^{(n × n)}/_{(n × (2 – ³/n))}
= ⁿ/_{(2 – ³/n)}
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)

Au dénominateur :
lim_{[n → +∞]} 2 = 2
lim_{[n → +∞]} ³/_n = 0

Par somme,
lim_{[n → +∞]}(2 – ³/_n) = 2

Au numérateur :
lim_{[n → +∞]} n = +∞

Par quotient,
lim_{[n → +∞]} ⁿ/_{(2 – ³/n)}

Donc lim_{[n → +∞]} v_n = +∞.

3) Limite de w_n = ^{(1 − 2n)}/_{(3n − 4)} :

Rédaction :

La limite du numérateur 1-2n est -∞ et la limite du dénominateur 3n-4 est +∞. On a donc -∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.

Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n) et en bas par le monôme le plus élevé (n).

v_n
= ^{(1 – 2n)}/_{(3n – 4)}
= ^{(n × (1/_n – 2))}/_{(n × (3 – ⁴/n))}
= ^{(1/_n – 2)}/_{(3 – ⁴/n)}
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)

Au numérateur :
lim_{[n → +∞]} ¹/_n = 0
lim_{[n → +∞]} 2 = 2

Par somme :
lim_{[n → +∞]} (1/_n – 2) = -2

Au dénominateur :
lim_{[n → +∞]} 3 = 3
lim_{[n → +∞]} ⁴/_n = 0

Par somme :
lim_{[n → +∞]} (3 – ⁴/_n) = 3

Par quotient :
lim_{[n → +∞]} ^{(1/_n – 2)}/_{(3 – ⁴/n)} = ^-2/₃

Donc lim_{[n → +∞]} v_n = ^-2/₃.

4) Limite de t_n = ^v_n/_un :

Rédaction :

Les limites de v_n et u_n valent toutes les deux +∞. En divisant, cela donne une forme indéterminée.

Je reprends donc leurs expressions.

t_n
= ⁿ/_{(2 – ³/n)} divisé par [n³ × ( 1 – ⁴/_n + ⁷/_n³)]
= ⁿ/_{(2 – ³/n)} × ¹/_{[ n³ × (1 – ⁴/n + ⁷/n³) ]}

= ⁿ/_{[ (2 – ³/n) × n³ × (1 – ⁴/n + ⁷/n³) ]}

= ⁿ/_{[n³ × (2 – ³/n) × (1 – ⁴/n + ⁷/n³) ]}

= ¹/_{[n² × (2 – ³/n) × (1 – ⁴/n + ⁷/n³) ]}

La limite de n² est +∞.

La limite de (2 – ³/_n) est de 2
car la limite de ³/_n est de 0
(en faisant 2 – 0).

La limite de (1 – ⁴/_n + ⁷/_n³) est de 1
car la limite de ⁴/_n est 0
et celle de ⁷/_n³ est 0
(en faisant 1 – 0 + 0).

Par produit au dénominateur, la limite est de +∞ (en faisant +∞ × 2 × 1).

Donc la limite de t_n est de 0 par inverse (car 1 sur +∞ tend vers 0).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Exprimer Y = cos(x + 2π) – sin(π – x) + cos(π + x) – sin(-x) :

Tu vois quatre termes différents qu’il faut gérer en quatre étapes.

D’abord cos(x + 2π) :

Ajouter 2π à l’angle x, c’est faire un tour complet de cercle trigo et revenir à l’angle x.

Cela veut dire que le fait d’ajouter 2π, d’enlever 2&pPi;, ou des multiples de 2π (4π, 6π, etc) ne change à la valeur du cosinus (et du sinus).

On a donc comme formule : Pour tout x, cos(x + 2π) = cos(x).

Ensuite sin(π – x)

Dans les questions comme ça avec des π-x, des π+x, etc, il faut toujours se ramener un quart de cercle Nord-Est pour dessiner x. Ce quart Nord-Est représente le cos(x) et le sin(x).

J’attire ton attention sur une chose, tu vois cet angle x plus bas que haut, en dessous de ^π/₄.
Il y a un trait horizontal qui fait la largeur en dessous de l’angle, c’est le cosinus en rouge.
Il y a un trait vertical qui fait la hauteur à gauche de l’angle, c’est le sinus en vert.
Les deux traits ont différentes longueurs ici.

Et comme l’angle est en haut à gauche, le sinus et le cosinus sont tous les deux positifs (indiqués par le signe +).

Maintenant, il faut dessiner π-x pour comparer ! C’est là que tu dois dessiner le cercle trigo avec x en haut à droite et le π-x.

En haut à droite, tu retrouves l’angle x avec son cosinus rouge en largeur et son sinus vert ne hauteur.
Comme l’angle est à droite, le cosinus est positif (+).
Comme l’angle est au dessus de l’axe des abscisse, le sinus est positif (+).

Pour trouver l’emplacement π-x, tu vas tout à gauche puis tu remontes à l’envers pour enlever le x (du même écartement/angle) que le x à droite.

Là encore, il faut tracer le trait horizontal en dessous de l’angle. C’est la largeur cosinus(π-x) rouge.
Comme ce cosinus va vers la gauche de l’axe des ordonnées, il est négatif.

Là encore, tu peux tracer le trait vertical à côté de l’angle. C’est la hauteur sinus(π-x) vert. Comme ce sinus va au dessus de l’axe des abscisses, il est positif.

Il faut comparer les longueurs des traits cos(π-x) et sin(π-x) avec ceux de cos(x) et sin(x). Ces longueurs sont les valeurs !

On s’aperçoit que les traits des cosinus ont même longueur donc:
cos(π-x) = +cos(x) ou cos(π-x) = -cos(x).
On regarde les signes, l’un des cosinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, cos(π-x) = -cos(x) car ils n’ont pas le même signe.

De plus, on s’aperçoit que les traits des sinus ont même longueur donc:
sin(π-x) = +sin(x) ou sin(π-x) = -sin(x).
On regarde les signes, les deux sinus sont « plus+ ».
Du coup, sin(π-x) = +sin(x) car ils sont de même signe.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, sin(π – x) = sin(x).

Puis cos(π + x)

Même méthode. On refait un cercle trigonométrique analogue au précédent. Cette fois, tu vas jusqu’à π à gauche et tu continues pour ajouter +x. Le sinus sera cette fois vers le bas car on repasse en dessous de l’axe des abscisses : il est donc négatif.

Il faut comparer les longueurs des traits cos(π+x) et sin(π+x) avec ceux de cos(x) et sin(x). Ces longueurs sont les valeurs !

On s’aperçoit que les traits des cosinus ont même longueur donc:
cos(π+x) = +cos(x) ou cos(π+x) = -cos(x).
On regarde les signes, l’un des cosinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, cos(π+x) = -cos(x) car ils n’ont pas le même signe.

On s’aperçoit que les traits des sinus ont même longueur donc:
sin(π+x) = +sin(x) ou sin(π+x) = -sin(x).
On regarde les signes, l’un des sinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, sin(π+x) = -sin(x) car ils n’ont pas le même signe.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, cos(π + x) = -cos(x).

Enfin sin(-x)

Dessine le cercle, c’est surtout la droite du cercle qui servira.

Compare les cosinus de -x et x. Ils sont identiques car ils vont tous les deux vers la droite.
Compare les sinus de -x et x. Ils sont opposés car l’un va vers le haut et l’autre vers le bas.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, sin(-x) = -sin(x).

Rassemblons tout :

Rédaction :
Y = cos(x + 2π) – sin(π – x) + cos(π + x) – sin(-x)
= cos(x) – sin(x) + (-cos(x)) – (-sin(x)) (d’après ce qu’on a vu plus haut)
= cos(x) – sin(x) – cos(x) + sin(x)
= 0.

Donc Y = 0.

2) Exprimer Z = 2sin(x + 5π) + cos(x + ^π/₂) + cos(x) – 3sin(x + ^π/₂) :

Tout d’abord sin(x + 5π) :

Comme vu plus haut, il y a trop de π dans 5π. Comme la fonction sinus est périodique de période 2π, on peut enlever des 2π sans problème.

Rédaction :
sin(x + 5π)
= sin(x + 3π) (car sin est 2π-périodique)
= sin(x + 1π) (car sin est 2π-périodique)
= sin(π + x)
= -sin(x) (d’après le cours et vu dans la question 1)).

Ensuite cos(x + ^π/₂) :

Celui-là n’est pas facile, c’est reparti pour le dessin d’un cercle trigonométrique avec l’angle x en haut à droite. Comme on ajoute ^π/₂), tu dessineras l’angle x+^π/₂ un quart de tour plus loin (car ^π/₂ c’est un quart de tour et π c’est un demi-tour).

Comparons maintenant le cos(x + ^π/₂) avec cos(x) et sin(x).
Si tu regardes de près les longueurs, celle de cos(x + ^π/₂) en rouge est égale à celle de sin(x) en vert (les petites longueurs).
Or, cos(x + ^π/₂ est vers la gauche, il est dans les « moins-« . Et sin(x) est vers le haut, il est dans les « plus+ ».

Donc ils ne sont pas de même signe. Du coup :
cos(x + ^π/₂) = -sin(x)

Comparons maintenant le sin(x + ^π/₂) avec cos(x) et sin(x).
Si tu regardes de près les longueurs, celle de sin(x + ^π/₂) en vert est égale à celle de cos(x) en rouge (les grandes longueurs).
Or, sin(x + ^π/₂ est vers le haut, il est dans les « plus+ ». Et cos(x) est vers la gauche, il est dans les « plus+ ».

Donc ils sont de même signe. Du coup :
sin(x + ^π/₂) = cos(x)

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, cos(x + ^π/₂) = -sin(x).

Enfin sin(x + ^π/₂) :

C’est la situation précédente.

Rédaction : D’après le cours, sin(x + ^π/₂) = cos(x).

Rassemblons tout :

Z = 2sin(x + 5π) + cos(x + ^π/₂) + cos(x) – 3sin(x + ^π/₂)
= 2(-sin(x)) + (-sin(x)) + cos(x) – 3cos(x) (d’après ce qu’on a vu précédemment)
= -3sin(x) – 2cos(x).

Donc Z = -3sin(x) – 2cos(x).

3) Démontrer que : (^→AB, ^→AD) + (^→DA, ^→DC) + (^→CD, ^→CB) + (^→BC, ^→BA) = 0 :

Déjà, tu peux voir qu’il y a des vecteurs opposés. Ce serait bien de retrouver les mêmes vecteurs partout. Par exemple transformons ^→DA = –^→AD.

Rédaction :

En partant du membre de gauche :
(^→AB, ^→AD) + (^→DA, ^→DC) + (^→CD, ^→CB) + (^→BC, ^→BA)
= (^→AB, ^→AD) + (-^→AD, –^→CD) + (^→CD, –^→BC) + (^→BC, –^→AB) (***)

Que faire avec les moins ?

Enlever un « moins- » à un vecteur, c’est prendre son opposé. La conséquence sur les angles est qu’on ajoute π car on fait un demi-tour supplémentaire en prenant l’opposé.

On voit sur le dessin que :
(^→u, –^→v) = (^→u, ^->v) + π.
Ajoutons π à chaque fois qu’on enlève un « moins- » à un vecteur.

Rédaction :

(***)
= (^→AB, ^→AD) + (^→AD, ^→CD) + π + π + (^→CD, ^→BC) + π + (^→BC, ^→AB) + π
= (^→AB, ^→AD) + (^→AD, ^→CD) + (^→CD, ^→BC) + (^→BC, ^→AB) + 4π
= (^→AB, ^→AD) + (^→AD, ^→CD) + (^→CD, ^→BC) + (^→BC, ^→AB) + 0 (car les multiples de 2π font des angles nuls)
= (^→AB, ^→CD) + (^→CD, ^→BC) + (^→BC, ^→AB) (avec la relation de Charles, on peut enlever les deux vecteurs ^→AD qui se suivent car si tu vas de ^→u vers ^→v, puis de ^→v vers ^→w, c’est comme aller de ^→u vers ^→w)
= (^→AB, ^→BC) + (^→BC, ^→AB) (idem avec ^→CD)
= (^→AB, ^→AB) (idem avec ^→AB)
= 0 (car il n’y a pas d’angle entre deux fois le même vecteur).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) 7,5(x – 0,1) + 2,5 = 3,5(x + 1,1) :

Explication :

Cette équation-égalité ne contient pas de « carré », il n’y a pas d’exposant 2, pas de multiplication de parenthèses contenant du « x » avec des parenthèses contenant du « x ». Du coup, il n’y a pas de second degré. On développe tout en distribuant 7,5 et 3,5 sur la parenthèse avec la formule :

Rédaction :

⇔ 7,5(x – 0,1) + 2,5 = 3,5(x + 1,1)
⇔ 7,5×x – 7,5×0,1 + 2,5 = 3,5×x + 3,5×1,1
⇔ 7,5x – 0,75 = 3,5x + 3,85
⇔ 7,5x – 3,5x = 3,85 – 0,75 (en soustrayant pour avoir les « x » à gauche et le reste à droite)
⇔ 4x = 3,1
⇔ 4x/4 = 3,1/4 (en divisant par le coefficient multiplicateur devant x)
⇔ x = 0,775

Donc S = {0,775}.

2) (x – 5)(2 – 3x) = 0 :

Explication :

C’est une équation au produit nul.

Rédaction :

Un produit est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
(x – 5)(2 – 3x) = 0
⇔ x-5 = 0 ou 2-3x = 0
⇔ x = 5 ou -3x = -2
⇔ x = 5 ou x = (-2)/(-3) = 2/3

S = {5 ; 2/3}

3) x² + 10x + 25 = 0 :

Explication :

Ceci est une équation-égalité avec du « carré ». Du coup, tu ne peux pas séparer les x avec le reste. Du moins, cela ne sert à rien. Il faut donc factoriser. Ici, il n’y a pas de facteur commun car pas de « x » dans le « 25 ».

Tu peux utiliser les identités-égalités remarquables. Comme il y a 3 termes : x², 10x et 25. Et que c’est un « plus+ » devant le second terme, on prend la première dans le sens de la factorisation :

Rédaction :

Le x² = a² donc x = a.
Le 25 = b² qui est 5² donc b = 5.
x² + 10x + 25 = 0 (de la forme a² + 2ab + b² = 0)
⇔ (a + b)² = 0
⇔ (x + 5)² = 0
⇔ (x + 5)(x + 5) = 0
⇔ (x + 5) = 0 ou (x + 5) = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = -5 ou x = -5

S = {-5}.

4) (x – 3)(2x – 5) – (x – 3)(5x – 4) = 0 :

Explication :

Ici, on multiplie des parenthèses contenant « x » avec d’autres parenthèses contenant « x », c’est donc une équation-égalité du second degré qu’on peut factoriser (tu dois toujours essayer de factoriser).

Le premier terme est (x – 3)(2x – 5). Il y a un « moins ». Le second terme est (x – 3)(5x – 4).
On peut déjà regarder s’il y a un facteur commun. Oui, c’est : (x – 3).

On application donc la formule de la distributivité vue au dessus dans le sens de la factorisation :
K×A – K×B = K×(A – B) avec
K = (x – 3)
A = (2x – 5)
B = (5x – 4)

Rédaction :

(x – 3)(2x – 5) – (x – 3)(5x – 4) = 0
⇔ (x – 3) × [ (2x – 5) – (5x – 4) ] = 0
⇔ (x – 3) × [ 2x – 5 – 5x + 4] = 0
⇔ (x – 3) × (-3x – 1) = 0
⇔ (x – 3) = 0 ou (-3x – 1) = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = 3 ou -3x = 1
⇔ x = 3 ou x = -1/3 (en divisant la second égalité par -3)

S = {3 ; -1/3}

5) (2x + 1)² = (2x + 1)(x – 3) :

Explication :

Dans celle-ci, il y a du « carré avec l’exposant 2. Pas possible de t’en sortir en séparant les « x » du reste. Du coup, passe tout à gauche en soustrayant le membre de droite.

Rédaction :

(2x + 1)² = (2x + 1)(x – 3)
⇔ (2x + 1)² – (2x + 1)(x – 3) = 0
⇔ (2x + 1)(2x + 1) – (2x + 1)(x – 3) = 0 (comme il y a (2x + 1) dans les deux termes, j’explicite le « carré » en deux facteurs pour retrouver le facteur commun K = (2x + 1) avec A = (2x + 1) et B = (x – 3)).
⇔ (2x + 1) × [ (2x + 1) – (x – 3) ] = 0
⇔ (2x + 1) × [ 2x + 1 – x + 3 ] = 0
⇔ (2x + 1) × [ x + 4 ] = 0
⇔ (2x + 1) = 0 ou [ x + 4 ] = 0 (règle du produit nul)
⇔ 2x = -1 ou x = -4
⇔ x = -1/2 ou x = -4 (en divisant la première égalité par 2)

S = {-1/2 ; -4}

6) (3 + 5x)² – (4x – 7)(3 + 5x) = 0 :

Explication :

C’est le même type de factorisation avec (3x + 5) en facteur commun K.

Rédaction :

(3 + 5x)² – (4x – 7)(3 + 5x) = 0
⇔ (3 + 5x)(3 + 5x) – (4x – 7)(3 + 5x) = 0
⇔ (3 + 5x) × [(3 + 5x) – (4x – 7)] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 3 + 5x – 4x + 7] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 3 + 5x – 4x + 7] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 10 + x ] = 0
⇔ (3 + 5x) = 0 ou [ 10 + x ] = 0 (Un produit de facteur est nul si au moins l’un de ces facteurs est nul)
⇔ 5x = -3 ou x = -10
⇔ x = -3/5 ou x = -10 (en divisant par 5 dans la première)

S = {-3/5 ; -10}

7) (7x + 1)² = (4 – 8x)² :

Explication :

Comme tu as du carré dans cette équation, je te conseille vivement de soustraire par le membre de droite pour retrouver tout à gauche.
(7x + 1)² = (4 – 8x)²
⇔ (7x + 1)² – (4 – 8x)² = 0

Tu n’as pas de facteur commun pour factoriser, c’est donc une identité remarquable avec deux termes. Le premier est (7x + 1)² et le second est (4 – 8x)². Il y a un « moins » au milieu. C’est donc la troisième identité dont la formule est :

Le A vaut (7x + 1) et le B vaut (4 – 8x).

Rédaction :

(7x + 1)² = (4 – 8x)²
⇔ (7x + 1)² – (4 – 8x)² = 0
⇔ [ (7x + 1) + (4 – 8x)] × [ (7x + 1) – (4 – 8x)] = 0
⇔ [ 7x + 1 + 4 – 8x ] × [ 7x + 1 – 4 + 8x] = 0
⇔ [ -x + 5 ] × [ 15x – 3] = 0
⇔ [ -x + 5 ] = 0 ou [ 15x – 3] = 0 (règle du produit nul)
⇔ -x = -5 ou 15x = 3
⇔ x = 5 ou x = 3/15 = 1/5 (en divisant les égalités par -1, puis 15 dans la seconde)

S = {5 ; 1/5}

8) x² – 1 + (x – 1)(4x + 3) = 0 :

Explication :

Comme tu vois du « carré » et un produit de parenthèses avec « x », c’est du second degré donc pas moyen de t’en sortir en séparant les x du reste. Tu dois donc factoriser.

Astuce ! Le x² – 1 vaut (x+1)(x-1). C’est une conséquence directe de la 3ème identité remarquable
a² – b² = (a + b)(a – b)
avec a = x et b = 1.

Rédaction :

x² – 1 + (x – 1)(4x + 3) = 0
⇔ (x + 1)(x – 1) + (x – 1)(4x + 3) = 0 (en utilisant la 3ème identité remarquable, on trouve (x-1) en facteur commun)
⇔ (x – 1) × [(x + 1) + (4x + 3)] = 0
⇔ (x – 1) × [ 5x + 4 ] = 0
⇔ (x – 1) = 0 ou [ 5x + 4 ] = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = 1 ou 5x = -4
⇔ x = 1 ou x = -4/5 (en divisant la seconde égalité par le coefficient 5)

S = {1 ; -4/5}

9) 4x – 2 ≥ 2x – 1 :

Explication :

Pas de second degré ici, tu peux séparer les « x » des « pas x ».

Rédaction :

4x – 2 ≥ 2x – 1
⇔ 4x – 2x ≥ -1 + 2 (en soustrayant 2x et en ajoutant 2)
⇔ 2x ≥ 1
⇔ x ≥ 1/2 (en divisant de chaque côté par le coefficient positif 2, on ne change pas le sens de l’inégalité).

S = [1/2 ; +∞[ (on prend bien le 1/2 car c’est supérieur ou égal, puis on va jusqu’à l’infini positif).

10) 2(x – 3) < x – 5 et 1 – (x + 4) ≤ 3 :

Rédaction :

D’abord celle de gauche :

2(x – 3) < x – 5

⇔ 2x – 6 < x – 5 (en distribuant le 2)

⇔ 2x – x < -5 + 6

⇔ x < 1

Puis celle de droite :

1 – (x + 4) ≤ 3

⇔ 1 -x – 4 ≤ 3

⇔ -x -3 ≤ 3

⇔ -x ≤ 3 + 3

⇔ -x ≤ 6

⇔ x ≥ -6 (en divisant par le négatif -1, on change le sens de l’inégalité)

On avait un « et », du coup on veut des « x » qui respecte « à la fois » x<1 et x≥-6.
J’entoure la partie qui respecte x<1 sur la première ligne. On ne prend pas le 1 car c’est une inégalité stricte sans égal.
J’entoure la partie qui respecte x ≥-6 sur la première ligne. Ici on prend le -6 car c’est une inégalité large avec « égal ».

Sur la troisième, on conserve les portions entourées sur les deux premières lignes car on a un « et ». Donc les valeurs doivent être sélectionnées -entourées- sur les deux premières lignes, c’est l’intersection.

S = [-6 ; 1[.

11) 3x + 1 > x – 3 ou 2x – 1 ≤ 6x + 11 :

Rédaction :

La première inégalité :
3x + 1 > x – 3
⇔ 3x – x > – 3 – 1 (tu soustrais x et 1 de chaque côté pour séparer)
⇔ 2x > -4
⇔ x > -2 (en divisant par le positif 2 de chaque côté, on ne change pas le sens de l’inégalité)

La seconde inégalité :
2x – 1 ≤ 6x + 11
⇔ 2x – 6x ≤ 11 + 1 (tu soustrais 6x et ajoutes 1 de chaque côté pour séparer)
⇔ -4x ≤ 12
⇔ -4x/(-4) ≥ 12/-4 (on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif)
⇔ x ≥ -3

J’entoure la partie qui respecte x>-2 sur la première ligne. On ne prend pas le -2 car c’est une inégalité stricte sans égal.

J’entoure la partie qui respecte x ≥-3 sur la première ligne. Ici on prend le -3 car c’est une inégalité large avec « égal ».

Sur la troisième, on conserve les portions entourées sur « au moins l’une » des premières lignes car on a un « ou ». Dès qu’une valeur est entourée sur la première ou la seconde ligne, on peut l’entourer sur la troisième qui représente le « ou », l’union. Une seule suffit. La valeur respecte « soit/ou la première inégalité, soit/ou la seconde inégalité, soit/ou les deux. »

S = [-3 ; -2[

Bonne compréhension
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers le corrigé

Tout le corrigé :

A(-4 ; 3), B(²²/₃ ; 5) et C(2 ; 7).

1) Tracer la droite (d) d’équation y = -x + 4 en expliquant la méthode choisie :

Pour tracer une droite, il faut deux points. Pour avoir un point, il faut son abscisse et son ordonnée.
Du coup, on choisit deux abscisses « x » séparées (pour écarter les points). C’est à toi de choisir les « x » et avec ceux-ci tu vas pouvoir calculer les « y ». Le choix de « x » fixe le « y ». Par exemple :
x1 = -3 et x2 = 5.
Maintenant, je calcule les « y » en utilisant l’équation de la droite.
y1 = -x1 + 4 = -(-3) + 4 = 7.
y2 = -x2 + 4 = -5 + 4 = -1.

Tu obtiens donc le point M1(-3 ; 7) et le point M2(5 ; -1) que tu peux relier. En tout cas, c’est toi qui choisis les abscisses « x » et tu calcules les « y » avec l’équation de droite.

Et on s’aperçoit que l’ordonnée à l’origine est bien 4 (la droite coup l’axe des ordonnées à la hauteur 4). Comme c’est indiqué dans l’équation
y = -x + 4.

2) Déterminer une équation de la droite (AC) en expliquant le plus précisément possible :

Pour déterminer une équation de droite, tu as besoin du coefficient directeur puis de l’ordonnée à l’origine.

= ^{(7 – 3)}/_{(2 – (-4))}
= ⁴/₆
= ²/₃

Donc l’équation de (AC) s’écrit
y = (²/₃) x + p
avec p étant l’ordonnée à l’origine.

Pour trouver le « p », on choisit un point de la droite (par exemple A) qui respecte donc l’équation de la droite et vérifie l’égalité. Tu as donc :
y_A = (²/₃) × x_A + p
⇔ 3 = (²/₃) × (-4) + p
⇔ 3 = ^-8/₃ + p
⇔ 3 + ⁸/₃ = p
⇔ ⁹/₃ + ⁸/₃ = p
⇔ p = ¹⁷/₃.

Donc l’équation de la droite (AC) est
y = (²/₃) x + ¹⁷/₃.

3) Justifier que les droites (d) et (AC) sont sécantes et déterminer par un calcul les coordonnées de leur point d’intersection I :

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Or (d) a pour coefficient directeur (-1) (car y = -x + 4) et (AC) a pour coefficient directeur ²/₃. Ils sont différents donc les droites sont sécantes.

Pour trouver le point d’intersection, on doit considérer que ce point appartient aux deux droites donc vérifient les deux équations en même temps : c’est un système !
{ y = -x + 4
{ y = (²/₃) x + ¹⁷/₃

(C’est une grande accolade, mais avec l’informatique, c’est plus facile d’en mettre deux petites pour deux lignes.)

Comme on a y et y à gauche dans les deux lignes, et que y=y forcément, on peut dire que :
-x + 4 = (²/₃) x + ¹⁷/₃.

Le système précédent revient à :
⇔
{ -x + 4 = (²/₃) x + ¹⁷/₃
{ y = -x + 4
{ y = (²/₃) x + ¹⁷/₃

On a une ligne de trop, une seul ligne du type « y = » suffit.
Gardons la plus simple :

⇔
{ -x + 4 = (²/₃) x + ¹⁷/₃
{ y = -x + 4

[
On résout d’abord l’équation avec les « x » à part à droite de la feuille.
-x + 4 = (²/₃) x + ¹⁷/₃
⇔ -x – (²/₃) x = ¹⁷/₃ – 4
⇔ (^-5/₃) x = ⁵/₃ (car 4 = ¹²/₃)
⇔ x = (⁵/₃) / (^-5/₃)
⇔ x = -1.
]

On revient au système :
⇔
{ x = -1
{ y = -(-1) + 4 = 5.
Donc le point d’intersection I a pour coordonnées (-1 ; 5).

4) Montrer que I est le milieu de [AC] :

Pour montrer que I est le milieu de [AC], on calcule les coordonnées du milieu de [AC] et on prouve que ce sont les coordonnées de I.

Milieu( ^{(-4 + 2)}/₂ ; ^{(3 + 7)}/₂ )
Milieu( ^-2/₂ ; ¹⁰/₂ )
Milieu( -1 ; 5 )
Ce sont bien les coordonnées de I ! Donc I est le milieu de [AC].

5) Déterminer par un calcul les coordonnées de D point d’intersection de (d) avec l’axe des abscisses :

Pour avoir un point d’intersection, on fait un système avec les deux égalités :
{ équation de la droite (d)
{ équation de l’axe des abscisses

⇔
{ y = -x + 4
{ y = 0 (axe des abscisses)

⇔
{ 0 = -x + 4
{ y = 0

⇔
{ x = 4
{ y = 0

Le point D, intersection de (d) et de l’axe des abscisses à pour coordonnées D(4 ; 0).

6) Montrer que ADBC est un trapèze :

D’après le dessin, il faudrait prouver que (AD) et (CB) sont parallèles pour montrer que ADBC est un trapèze.

Pour cela, calculons les coefficients directeurs de (AD) et (CB).

(AD) : ^{(yD – yA)}/_{(xD – xA)}
= ^{(0 – 3)}/_{(4 – (-4))}
= ^-3/₈

(CB) : ^{(yB – yC)}/_{(xB – xC)}
= ^{(5 – 7)}/_{(22/3 – 2)}
= ^-2/_(16/3) (car 2 = 6/3)
= -2 × ³/₁₆
= ^{(-2 × 3)}/_{(2 × 8)}
= ^-3/₈ (en simplifiant par 2).

Les coefficients sont égaux donc (AD) et (CB) sont parallèles sont ADBC est un trapèze.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

0) Démontrer que la fonction h : x → x² + 4 est croissante sur [0 ; +∞ [ :

Pour démontrer qu’une fonction est croissante en seconde, la propriété du cours dit qu’il faut :

* Partir de a < b. C’est à dire écrire « a < b » sur la feuille.
* Puis arriver à f(a) ≤ f(b).

En effet, si « a < b donne f(a) ≤ f(b)« , cela veut dire que la fonction f est croissante comme c’est illustré sur l’image ci-dessous.

On voit bien que si on prend a < b et qu’on arrive à f(a) ≤ f(b), alors la courbe monte entre les deux points. Attention, il faut dire « pour tout a et b tels que a < b« .

Ici, on veut sur [0 ; +∞ [, c’est important avec la fonction carré car la variation change si on est dans les négatifs ou si on est dans les positifs.

Soit n’importent quels a et b tels que 0 ≤ a < b.
En passant au carré, cela donne : 0² ≤ a² < b² car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞ [ (donc on ne change pas le sens des inégalités).

On voit bien à droite dans les positifs que l’on garde le sens « plus petit ou égal ».

Rédaction :

Sur [0 ; +∞ [ : 0 ≤ a < b

⇔ 0² ≤ a² < b² (car « carré » est strictement croissante sur R⁺)

⇔ 0² + 4 ≤ a² + 4 < b² + 4 (on additionne)

⇔ f(0) ≤ f(a) < f(b)

On a donc « a < b donne f(a) < f(b) » ou même « a < b donne f(a) ≤ f(b) » avec une inégalité large. Donc la fonction f croissante sur [0 ; +∞ [.

1) Représenter dans un même repère les courbes Cf et Cg des fonctions f et g sur l’intervalle [-4 ; 6] :

Rédaction :

On fait un tableau (tableur ou calculatrice) avec les valeurs de x allant de -4 à 6 (de 1 en 1 par exemple). On met les f(x) en dessous des x et les g(x) encore en dessous. Puis on place les points (x ; f(x)) et (x ; g(x)) sur le repère et on les relie en courbe (ou en droite avec g(x)). Cela donne :

La parabole bleue est Cf et la droite rouge est Cg. Écris bien Cf et Cg sur le graphique.

2) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x) :

Rédaction :

Pour résoudre graphique f(x) = g(x), on regarde les points d’intersection de Cf et Cg et on note les abscisses comme solutions.

On obtient 2 et 4 comme abscisses des points d’intersection de Cf et Cg. Donc S = {2 ; 4} graphiquement.

3) Montrer que pour tout réel x, (¹/₂) x² – 3x + 4 = (¹/₂) (x – 2)(x – 4) :

Rédaction :

Pour montrer une égalité de ce type, on part de la forme factorisée (celle avec le produit et les parenthèses) vers la forme développée.
(¹/₂) (x – 2)(x – 4)
= 0.5(x – 2)(x – 4)
= (0.5x – 1)(x – 4), en distribuant le 0.5 sur le (x – 2), 0.5×2 = 1.
= 0.5x × x – 0.5x × 4 – 1 × x – 1 × (-4).
= 0.5x² – 2x – 1x + 4
= 0.5x² – 3x + 4.
= (¹/₂) x² – 3x + 4.

4) En déduire la résolution algébrique (par le calcul) de l’équation f(x) = g(x) :

Rédaction :

On passe tout à gauche en soustrayant les deux membres de l’égalité par g(x) :
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0
⇔ 0.5x² – (3x – 4) = 0
⇔ 0.5x² – 3x + 4 = 0
⇔ 0.5(x – 2)(x – 4) = 0 (d’après le 3)).
⇔ 0.5=0 ou x-2=0 ou x-4=0 car un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
0.5=0 est impossible, x = 2 ou x = 4.
Donc les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont 2 et 4.

5) A l’aide des courbes représentatives des fonctions f et g, résoudre l’inéquation
f(x) ≤ g(x) :

Rédaction :

J’ai entouré en vert les morceaux de courbes où Cf est au dessus de Cg :
Sur [-6 ; 2] et [4 ; 6], f(x) ≥ g(x).
J’ai hachuré en noir les morceaux de courbes où Cf est en dessous de Cg :
Sur [2 ; 4], f(x) ≤ g(x). C’est ce qu’on veut.
Donc S = [2 ; 4].
D’ailleurs j’aurais mieux fait d’entourer en vert quand Cf est en dessous de Cg pour que ça colle bien à la question 5).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland