frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

1) Montrer que u₀ = 50 et u_n+1 = 0,95u_n + 3 :

Rédaction :

En 2010, la forêt contient 50 milliers d’arbres et c’est l’année (2010 + 0). Donc cela compte pour n = 0. Du coup, u₀ = 50.

A l’étape n (l’année 2010+n), on prend le nombre d’arbres, on en enlève 5%. Du coup, on multiplie le nombre actuel u_n par le coefficient multiplicateur 1-⁵/₁₀₀ = 0,95. On obtient u_n×0,95. Puis on fait repousser les 3 milliers : u_n×0,95 + 3 qui donne le nombre d’arbres l’année suivante soit u_n+1.
Donc pour tout n, u_n+1 = u_n×0,95 + 3.

2) Calculer u₁. Combien d’arbres comptera la forêt en 2011 :

Rédaction:

u₁ = u₀×0,95 + 3
= 50 × 0,95 + 3
= 47,5 + 3
= 50,5.

La forêt comptera 50500 arbres en 2011.

3) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,95 :

Rédaction :

Pour montrer que la suite (v_n) géométrique, je dois montrer que pour tout n,
v_n+1 = quelquechose × v_n
donc je commence par calculer :

Pour tout n, v_n+1 = 60 − u_n+1 (avec la nouvelle formule de v_n appliquée à n+1)
= 60 − (u_n×0,95 + 3) (en remplaçant u_n+1 par sa formule récurrente)
= 60 – u_n×0,95 – 3 (en distribuant le “moins-” sur chaque élément de la parenthèse enlevée)
= 57 – u_n×0,95
(L’astuce est maintenant de factoriser par le coefficient qui multiplie u_n.)

= 0,95 × (⁵⁷/_0,95 – u_n)
= 0,95 × (60 – u_n) (on retrouve la formule de v_n)
= 0,95 × v_n

Donc pour tout n, v_n+1 = 0,95 × v_n.

(Hors-rédaction : la phrase officielle)
Il existe q ∈ R (q = 0,95) tel que :
pour tout n ∈ N, v_n+1 = q × v_n,
donc (v_n) est une suite géométrique de raison q = 0,95
et de premier terme v₀ = 60 – u₀ = 60 – 50 = 10.

4) Calculer v₀. Déterminer v_n en fonction de n :

Rédaction :

J’ai calculé v₀ de manière spontanée dans la question 3).
v₀ = 10.

Lorsqu’on a le premier terme v_p et la raison q, la formule d’une suite géométrique est :

Ici, p = 0, v_p = v₀ = 10 et q = 0,95.
Donc pour tout n, v_n = 10 × 0,95ⁿ (car n-0 = n).

5) Démontrer que u_n = 60 − 10 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

D’après l’énoncé, v_n = 60 − u_n.
Donc v_n – 60 = −u_n (en soustrayant par 60)
-v_n + 60 = +u_n (en multipliant tout par (-1) pour enlever le “moins-” devant u_n).

Du coup, pour tout n,
u_n = 60 – v_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ.

6) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015 :

Rédaction :

2015 c’est 2010+5, donc c’est pour n = 5.
Le nombre d’arbres est u₅
= 60 – 10 × 0,95⁵
= 60 – 10 × 0,7737809375
= 60 – 7,737809375
= 52,262190625 milliers. Soit 52262 arbres en 2015.

7) Vérifier que u_n+1 − u_n = 0,5 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

Pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ⁺¹ – (60 – 10 × 0,95ⁿ)
= 60 – 10 × 0,95ⁿ×0,95¹ – 60 + 10 × 0,95ⁿ
(formule des puissances et en enlevant les parenthèses derrière le “moins-“)
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ)
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ×1)
= 10 × (0,95ⁿ × (-0,95¹ + 1))
(en factorisant par 0,95 dans la parenthèse)
= 10 × (0,95ⁿ × (0,05))
= 0,5 ×0,95ⁿ

8) En déduire la monotonie de la suite:

Rédaction :

Pour étudier si une suite est croissante ou décroissante, on détermine le signe de :

Ici pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 0,5 ×0,95ⁿ
0,5 est strictement positif et 0,95ⁿ est strictement positif, donc le produit est strictement positif.
Du coup, u_n+1 − u_n > 0, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

9) Déterminer la limite de (u_n). Interpréter :

Rédaction :

lim _{[n → +∞]} 0,95ⁿ = 0 car 0 < q < 1 (q = 0,95)

Par produit, lim _{[n → +∞]} -10×0,95ⁿ = 0 (car -10×0 = 0)

Par somme, lim _{[n → +∞]} (60 – 10×0,95ⁿ) = 60 (car 60 + 0 = 0).

Donc la limite de u_n est 60 et à long terme la forêt contiendra 60 milliers d’arbres.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland