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Tout le corrigé :
1) Limite de un = n3 − 4n2 + 7 :
Rédaction :
n3 tend vers +∞ et 4n2 tend aussi vers +∞. Comme on soustrait +∞ par +∞, on obtient donc une forme indéterminée. Le +7 est une constante qui ne modifie rien à +∞.
Je factorise un par le monôme au degré le + élevé soit par n3.
un
= n3 × ( 1 – 4n2/n3 + 7/n3 )
= n3 × ( 1 – 4/n + 7/n3 )
lim[n → +∞] 1 = 1
lim[n → +∞] 4/n = 0
lim[n → +∞] 7/n3 = 0
Par somme,
lim[n → +∞](1 – 4/n + 7/n3) = 1
De plus,
lim[n → +∞] n3 = +∞
Par produit,
lim[n → +∞] n3 × ( 1 – 4/n + 7/n3 ) = +∞
Donc lim[n → +∞] un = +∞.
2) Limite de vn = n2/(2n − 3) :
Rédaction :
La limite du numérateur n2 est +∞ et la limite du dénominateur 2n-3 est aussi +∞. On a donc +∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.
Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n2) et en bas par le monôme le plus élevé (n).
vn
= (n2)/(n × (2 – 3/n))
= (n × n)/(n × (2 – 3/n))
= n/(2 – 3/n)
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)
Au dénominateur :
lim[n → +∞] 2 = 2
lim[n → +∞] 3/n = 0
Par somme,
lim[n → +∞](2 – 3/n) = 2
Au numérateur :
lim[n → +∞] n = +∞
Par quotient,
lim[n → +∞] n/(2 – 3/n)
Donc lim[n → +∞] vn = +∞.
3) Limite de wn = (1 − 2n)/(3n − 4) :
Rédaction :
La limite du numérateur 1-2n est -∞ et la limite du dénominateur 3n-4 est +∞. On a donc -∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.
Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n) et en bas par le monôme le plus élevé (n).
vn
= (1 – 2n)/(3n – 4)
= (n × (1/n – 2))/(n × (3 – 4/n))
= (1/n – 2)/(3 – 4/n)
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)
Au numérateur :
lim[n → +∞] 1/n = 0
lim[n → +∞] 2 = 2
Par somme :
lim[n → +∞] (1/n – 2) = -2
Au dénominateur :
lim[n → +∞] 3 = 3
lim[n → +∞] 4/n = 0
Par somme :
lim[n → +∞] (3 – 4/n) = 3
Par quotient :
lim[n → +∞] (1/n – 2)/(3 – 4/n) = -2/3
Donc lim[n → +∞] vn = -2/3.
4) Limite de tn = vn/un :
Rédaction :
Les limites de vn et un valent toutes les deux +∞. En divisant, cela donne une forme indéterminée.
Je reprends donc leurs expressions.
tn
= n/(2 – 3/n) divisé par [n3 × ( 1 – 4/n + 7/n3)]
= n/(2 – 3/n) × 1/[ n3 × (1 – 4/n + 7/n3) ]
= n/[ (2 – 3/n) × n3 × (1 – 4/n + 7/n3) ]
= n/[n3 × (2 – 3/n) × (1 – 4/n + 7/n3) ]
= 1/[n2 × (2 – 3/n) × (1 – 4/n + 7/n3) ]
La limite de n2 est +∞.
La limite de (2 – 3/n) est de 2
car la limite de 3/n est de 0
(en faisant 2 – 0).
La limite de (1 – 4/n + 7/n3) est de 1
car la limite de 4/n est 0
et celle de 7/n3 est 0
(en faisant 1 – 0 + 0).
Par produit au dénominateur, la limite est de +∞ (en faisant +∞ × 2 × 1).
Donc la limite de tn est de 0 par inverse (car 1 sur +∞ tend vers 0).
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
