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Maths : exercice de fonction, image de seconde. Antécédents, équations, développement et réduction, solutions, tableaux de valeurs, courbe.
Exercice N°348 :
Exercice N°348 :
Soit la fonction f définie sur R par
f(x)=((1/2)x + 1)(x − 3)
1) Calculer l’image par f des nombres suivants : –3 et 2/3. Lis la suite »
Maths de seconde : exercice d’inéquation avec factorisation et quotient. Domaine de définition, tableau de signe, intervalle de solution.
Exercice N°346 :
Exercice N°346 :
1-2-3-4) Résoudre les inéquations suivantes.
1) (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0, Lis la suite »
Exercice de maths de seconde sur la mise en équation, inéquations, valeur interdite, tableau de signe, solutions, fonction, équation.
Exercice N°345 :
Exercice N°345 :
1) Donner le tableau de signe de l’expression −4x + 7 en expliquant la méthode utilisée. Lis la suite »
Maths de seconde : exercice avec factorisation du second degré. fonction, tableau de valeurs, signe et variation, minimum, maximum, courbe.
Exercice N°344 :
Exercice N°344 :
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = x2 + 2x − 3.
1) Montrer que f(x) = (x + 1)2 − 4. Lis la suite »
Exercice de maths de seconde sur les fonctions affines, triangle, intersections, droites, coefficients directeurs, ordonnées à l’origine.
Exercice N°054 :
Soit A(2 ; 5), B(-4 ; 3) et C(5 ; -5).
1) Déterminer l’équation de D1 médiane de ABC issue de A. Lis la suite »
Maths de seconde sur fonctions affines : exercice d’équations réduites de droites. Longueurs, figures, point d’intersection, parallélisme.
Exercice N°053 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J).
On considère les points A(−2; 2), B(2;−1) et C(2; 4).
1) Démontrer que AB = BC. Lis la suite »
Maths de seconde : exercice sur fonction affine, droite. Lecture graphique, tracer dans un repère, appartenance d’un point à la droite.
Exercice N°052 :
1) Par lecture graphique et en laissant apparaitre les traits sur le graphique, déterminer les équations réduites des droites (d1), (d2), (d3), (d4) et (d5). Lis la suite »
Exercice : Clic droit vers l’exercice
Tout le corrigé :
1) On a 4 chances sur 6 d’obtenir une rouge au premier tirage (et 2 chances sur 6 d’avoir une noire).
Si on a une rouge et qu’on la remet, on obtient les mêmes chances pour le second tirage.
Par contre, si on a une noire et qu’on ne la remet pas, on aura 4 chances sur 5 d’avoir une rouge et 1 chance sur 5 d’avoir une noire.
J’obtiens l’arbre suivant :
Les branches de droites forment la colonne des « sachants ».
Les probabilités tout à droite sont les « inter ».
P(boules rouges) = P(R1 inter R2)
= P(R1) × P(R2 sachant R1)
= 4/6 × 4/6
= 2/3 × 2/3
= 4/9
2) P(seconde boule noire) = P(N2)
On retrouve N2 deux fois sur la colonne de droite donc :
R1 et N1 forment une partition de Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(N2) = P(R1 inter N2) + P(N1 inter N2)
= 4/6 × 2/6 + 2/6 × 1/5
= 2/3 × 1/3 + 1/3 × 1/5
= 2/9 + 1/15
= 10/45 + 3/45
= 13/45
3) P(première boule rouge sachant seconde noire) = P(R1 sachant N2)
= P(R1 inter N2)/P(N2)
= (4/6)/(13/45)
= 4/6 × 45/13
= 4/2 × 15/13 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
= 2×15/13
= 30/13
4) p est la probabilité de succès d’une épreuve.
Le succès est d’obtenir une boule rouge lors du tirage.
Il y a 4 boules rouges et n boules noires, soit (4+n) boules au total.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.
La probabilité d’obtenir une boule rouge (le succès) est donc le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Soit p = 4/(4 + n)
5) On a du « au moins une », on doit donc raisonner en contraire.
Le contraire de « l’une au moins des quatre boules tirées soit noire » est « toutes les boules sont rouges » donc :
qn = P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire)
= 1 – P(X = 4)
= 1 – (Combinaison(n ; k) × pk × (1 – p)n-k)
= 1 – (Combinaison(4 ; 4) × p4 × (1 – p)4-4)
= 1 – (1 × p4 × (1 – p)0)
= 1 – (p4 × 1)
= 1 – p4
= 1 – (4/(4 + n))4
6) qn ≥ 0,9999
⇔ 1 – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999 – 1
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ -0,0001
⇔ (4/(4 + n))4 ≤ 0,0001
⇔ (4/(4 + n)) ≤ 0,0001(1/4)
Comme tout est positif là, on enlève le puissance 4 à gauche, en faisant puissance 1/4 à droite.
⇔ 4/(4 + n) ≤ 0,1
⇔ 4 ≤ 0,1 × (4 + n)
⇔ 4/0,1 ≤ 4 + n
⇔ 40 – 4 ≤ n
⇔ 36 ≤ n
⇔ n ≥ 36
36 est le plus petit entier naturel tel que qn ≥ 0,9999
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
Exercice de maths sur les fonctions affines et équations de droite, seconde. Calculs et lecture graphique. Parallèles, points d’intersections.
Exercice N°049 :
1-2-3-4-5) Par lecture graphique et en laissant apparaître les traits sur le graphique, déterminer les équations des droites d1, d2, d3, d4 et d5.
1) d1 : Lis la suite »
Exercice : Clic droit vers l’exercice
Tout le corrigé :
1) Je saisis N = 3.
U = 0.
Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour
Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour
Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour
Pas de nouvelle boucle
Afficher U : 29.
2) u1 = u0+1 = 3u0 – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).
u2 = u1+1 = 3u1 – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).
3) Initialisation :
u0 = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit uk ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que uk+1 ≥ k+1.
Je fais « par construction ».
uk ≥ k
⇔ 3uk ≥ 3k
⇔ 3uk – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3uk – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ uk+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ uk+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.
Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
« un ≥ n » est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.
4) En regardant les données, on sait que un ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les un sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (un) tend aussi vers +∞.
5) Pour déterminer la variation de (un), j’étudie le signe de un+1 – un.
Donc un+1 – un = 3un – 2n + 3 – un
= 2un – 2n + 3
De plus, un ≥ n.
Donc 2un – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc un+1 – un ≥ 3 > 0.
Comme un+1 – un est strictement positif, la suite (un) est strictement croissante.
6) Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
vn+1 = q × vn.
Alors je commence par :
Pour tout n, vn+1 = un+1 − (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3un – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (un – n + 1)
= 3 × vn.
Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, vn+1 = q × vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = u0 – 0 + 1 = 1.
Donc vn = v0×qn
= 1 × 3n = 3n.
7) vn = 3n et
vn = un − n + 1
Donc 3n = un − n + 1
Donc 3n + n – 1 = un.
8) C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N0,
tel que pour tout n ≥ N0,
un > A.
Ici ce A est 10p et ce N0 est N.
9) 10 < 27 donc
10 < 33 donc
10p < (33)p
10p < 33p
10p < 33p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10p < u3p
On a déjà dépassé 10p avec 3p donc N ≤ 3p.
10) 1 + 0 – 1 = 0 < 1000
3 + 1 – 1 = 3 < 1000
9 + 2 – 1 = 10 < 1000
27 + 3 – 1 = 29 < 1000
81 + 4 – 1 = 94 < 1000
243 + 5 – 1 = 247 < 1000
729 + 6 – 1 = 734 < 1000
2187 + 7 – 1 = 2193 > 103
L’entier N est 7.
11) On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer un
tant qu’il est < que 10p.
Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3N + N – 1 < 10p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
