Dérivation – Fonctions, production de mini-dinosaures – Première

février 8th, 2020

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première

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Exercice N°041 :

Exercice, dérivée, quotient, système, première

Exercice N°041 :

Partie A :

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ et on note Cf sa courbe représentative.
Cf passe par le point A de coordonnées (1 ; 1). Cf admet la droite (d) d’équation
y = -x + 2 pour tangente au point A.

1) En utilisant les données du texte et en justifiant la réponse, déterminer
f(1) et f ‘ (1).

f est de la forme
f(x) = (x2 + ax + b)/x.

2) Exprimer f ‘ (x) en fonction des coefficients a et b.

3) En déduire la valeur des coefficients a et b.

Partie B :

On suppose pour la suite que a = -2 et b = 2
et on a alors
f(x) = (x2 – 2x + 2)/x
définie sur ]0 ; +∞[.

4) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. Donner la valeur exacte du minimum et donner sa valeur arrondie aux centièmes.

5) Déterminer l’équation réduite de la tangente (d1) à la courbe au point d’abscisse 2.

6) Dans le repère ci-dessous tracer Cf, (d) et (d1).

Exercice, dérivée, quotient, système, première, courbe, droites, repère

Partie C :

Une compagnie fabrique des mini-dinosaures en caoutchouc.

La fonction f représente le coût moyen unitaire de production en fonction du nombre x de milliers de mini-dinosaures produits par jour, c’est à dire le coût de production d’un millier de mini-dinosaures quand la compagnie en produit x milliers par jour.

On suppose que toute la production est vendue et que chaque mini-dinosaure est vendu 2 euros.

7) Déterminer le nombre de mini-dinosaures arrondi à l’unité que la compagnie doit produire chaque jour, pour que le coût moyen de production soit minimum.

8) Quel est alors le bénéfice journalier de cette compagnie ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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