Maths : exercice de fonction avec trigonométrie de terminale. Limites, tableau de variation, dérivation, tangente, cosinus, sinus, courbe.
Exercice N°251 :
Exercice N°251 :
1) Résoudre, sur ]– π ; π],
l’équation cos x = 0.
En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation.
On considère la fonction f définie par :
f(x) = sin x/cos x.
2) Expliquer pourquoi f est définie sur R \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal
(O,→i, →j).
3) Montrer que f(x + 2π) = f(x).
4) Montrer que f(x + π) = f(x).
5) Montrer que f est impaire. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
Pour les questions suivantes, on étudie f sur l’intervalle
I = ]-π/2 ; π/2[.
6) Étudier
lim (x ↦ π/2, x < π/2) f(x)
et
lim (x ↦ –π/2, x > –π/2) f(x).
7) Justifier que f est dérivable sur I et montrer que
f ‘ (x) = 1/(cos x)2.
En déduire les variations de f sur I et dresser son tableau de variation complet sur I.
8) Compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les valeurs exactes.
Expliquer pourquoi on peut en déduire immédiatement les images de
–π/6, –π/4 et –π/3.
9) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d’abscisse 0.
10) Étudier sur I la position de la courbe Cf par rapport à (T).
11) Tracer la courbe représentative de f sur ]-π/2 ; π/2[ ⋃ ]π/2 ; 3π/2[ dans le repère ci-dessous, en justifiant.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, fonction, trigonométrie, terminale.
Exercice précédent : Fonctions – Bases, rationnelle, variation, intersection – Terminale
