frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Maths de terminale : exercice d’exponentielle, équation, démonstration, limite, dérivée, variation, croissance comparée, polynôme.

Exercice N°659 :

Exercice N°659 :

Équation à résoudre :

Soit P le polynôme défini par
P(x) = x³ + 2x² − x − 2.

1) Montrer que P(x) = (x − 1)(x² + 3x + 2), pour tout réel x.

2) Résoudre l’équation P(x) = 0 dans R.

3) En déduire les solutions dans R de l’équation
e^3x + 2e^2x − e^x − 2 = 0.

Restitution organisée de connaissances :

L’objet de cette question est de démontrer que lim_x→+∞^ex/_x = +∞.

On suppose connus les résultats suivants :

* La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée.
* e⁰ = 1.
* Pour tout réel x, on a e^x > x.

* Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un réel positif :
Si pour tout x de [A ; +∞[,
v(x) ≤ w(x) et si lim_x→+∞^v(x)/_x = +∞,
alors lim_x→+∞^u(x)/_x = +∞.

Fin des résultats supposés connus.

Soit Φ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
Φ(x) = e^x – ^x2/₂.

4) Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[,
Φ(x) ≥ 0.
5) En déduire que lim_x→+∞^ex/_x = +∞.

Autre restitution organisée de connaissances :

On supposera connus les résultats suivants :
Pour tous réels x et y,
* e⁰ = 1
et
* e^x × e^y = e^{x + y}.

Fin des résultats connus.

6) Démontrer que pour tout réel x, on a :
e^-x = ¹/_(e^x)

7) Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a :
(e^x)ⁿ = e^nx

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, équation, démonstration.

Exercice précédent : Dérivation – Nombre dérivé, polynôme, racine, fraction – Première