frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

^→SI = (¹/₃)^→SA
^→SJ = (¹/₃)^→SD

1) Je découpe le segment [SA] en trois et je place I à ¹/₃ du segment en partant de S vers A.
Je découpe le segment [SD] en trois et je place J à ¹/₃ du segment en partant de S vers D.

(AI) et (DJ) sont sécantes en S. A, I, S et D, J, S sont alignés dans le même ordre. Les rapports ^SI/_SA et ^SJ/_SD sont égaux (¹/₃).
D’après la réciproque du théorème de Thalès, (IJ) et (AD) sont parallèles.

(ABCD) et (CIJ) sont deux plans sécants qui contiennent respectivement (AD) et (IJ) qui sont deux droites parallèles.

Voici le Théorème du toit : Si on a deux droites parallèles d1 et d2, un plan P1 contenant d1, un plan P2 contenant d2 et P1 et P2 sécants, alors l’intersection d des deux plans est une droite parallèle aux droites d1 et d2.

Donc l’intersection de (ABCD) et (CIJ) est une droite parallèle à (IJ) et (AD).

Or le point C appartient à la fois aux deux plans, il est donc sur la droite d’intersection qu’on peut tracer à partir de C en suivant une parallèle à (IJ) et (AD).

Cette droite est sur la base (ABCD), elle atteint le segment [AB].

2) Pour tracer cette section, on relie les points qui sont à la fois sur (CIJ) et sur la pyramide : il s’agit de I, J et C. On a tracé le segment de la face du dessous grâce au théorème du toit dans le 1).
On obtient donc un second point de (CIJ) sur la face arrière (SAB) en plus du point I. On relie ces deux points pour obtenir la droite d’intersection de (CIJ) et (SAB).

Autre pyramide SABCD telle que (AB) et (CD) se coupent en E.

3) L’intersection de deux plans sécants est une droite.
Je vais trouver deux points qui sont à la fois sur les plans (SAB) et (SDC).

Le point S est cité deux fois, donc il appartient à l’intersection des deux plans (SAB) et (SDC).

Par construction, E est à la fois sur la droite (AB) et la droite (DC). Il appartient donc à la fois au plan (SAB) et au plan (SDC).

Comme S et E appartiennent à l’intersection des deux plans, alors la droite (SE) est l’intersection des deux plans (SAB) et (SDC).

Un plan P parallèle à (ES) coupe (SA) en I, (SB) en J, (SC) en K, (SD) en L.
4) Là encore on utilise le théorème du toit dans une formulation un peu différente avec comme premier plan (SAB) et comme second plan P qui est parallèle à (ES).

Théorème du toit version 2 : Si une droite (d’) est parallèle à deux plans sécants P1 et P2 , alors elle est parallèle à leur droite d’intersection (d).

On sait que (ES) est parallèle à P d’après l’énoncé, et (ES) est parallèle à (SAB) car elle est incluse dedans. Donc (ES) est parallèle à la droite d’intersection de P et de (SAB) qui est la droite (IJ) car P coupe (SA) en I et (SB) en J.

De la même manière avec (SDC) et (ES), on prouve que (ES) est parallèle à (KL), K et L étant les points d’intersection de P et de (SDC).

Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles, donc (IJ) et (KL) sont parallèles.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour obtenir la valeur estimée du taux en 2009, on voit que la petite croix sur le graphique au dessus de l’abscisse 9 correspond à 2009, donc on calcule f(9).
f(9) = −0,04 × 9³ + 0,68 × 9² − 0,06 × 9 + 51,4
= 76.78.

2) Pour calculer un pourcentage d’erreur, on utilise la formule suivante :
[^{(ValeurMesurée – ValeurEstimée)}/_{(ValeurMesurée)}] × 100
= [^{(75.7 – 76.78)}/_(75.7)] × 100
= [^{(– 1.08)}/_(75.7)] × 100
= -1.427 environ.

Le pourcentage d’erreur est de 1.43%.

3) On a f(x) = −0,04x³ + 0,68x² − 0,06x + 51,4 donc

f'(x) = −0,04 × 3x² + 0,68 × 2x − 0,06 × 1 + 0
= −0,12x² + 1,36x – 0,06

Pour obtenir les variations de f, on a besoin du signe de f ‘ (x).

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b² – 4ac
= 1.36² – 4 × (-0,12) × (-0,06)
= 1.8496 – 0.0288
= 1.8208 > 0
donc ce polynôme a deux racines réelles.

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1.36 – √1.8208)}/_(2(−0,12))
= 11.289 environ

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-1.36 + √1.8208)}/_(2(−0,12))
= 0.0443 environ

On obtient le tableau de signe de f ‘ (x) et de variation de f suivant :

Je vais de -∞ à +∞ pour faire le signe du polynôme du second degré, puis je coupe à 0 et 11 pour coller au domaine de définition. Je calcule aussi f(0), le minimum, puis f(11).

4) On a f ‘ (x) = −0,12x² + 1,36x – 0,06
donc
f’ ‘ (x) = −0,12 × 2x + 1.36 + 0
= -0.24x + 1.36.

Pour obtenir la convexité de f, on a besoin du signe de f ‘ ‘ (x) (on peut intercaler les variations de f ‘).

On met un + dans la ligne de -0.24x + 1.36
⇔ -0.24x + 1.36 ≥ 0
⇔ -0.24x ≥ -1.36
⇔ ^-0.24x/_(-0.24) ≤ ^-1.36/_(-0.24)
⇔ x ≤ ¹⁷/₃
⇔ à gauche de ¹⁷/₃

On met donc le + à gauche dans la ligne de -0.24x + 1.36.

On obtient le tableau de signe de f ‘ ‘( x), de variation de f ‘, de convexité de f suivant :

5) D’après le tableau de convexité de f, f passe de convexe à concave au point d’abscisse ¹⁷/_{3. Donc f admet un point d’inflexion en cette abscisse.}

L’équation d’une tangente à courbe Cf au point d’abscisse a est :

Je vais calculer les valeurs approchées de f(¹⁷/₃) et de f ‘ (¹⁷/₃).

f(¹⁷/₃) = 65.617

f ‘ (¹⁷/₃) = 3.793

Donc y = 3.793 × (x – ¹⁷/₃) + 65.617
y = 3.793x – 3.793 × ¹⁷/₃ + 65.617
y = 3.793x + 44.123

C’est l’équation de la tangente au point d’inflexion avec des valeurs approchées.

6) Comme la fonction passe de convexe à concave en ce point d’inflexion, cette tangente est en dessous de C avant ¹⁷/₃, puis au dessus de C après ¹⁷/₃.

Je trace ci-dessous la courbe et la tangente pour x allant de 0 à 11 (carreaux de 1 en 1) et y allant de 0 à 90 (carreaux de 10 en 10).

7) La diminution du rythme de croissance du taux d’endettement, c’est quand la fonction passe de convexe à concave, c’est à dire au niveau du point d’inflexion, que le rythme de croissance commence à diminuer. Pour ¹⁷/₃, soit 5+(²/₃). C’est à partir des deux-tiers de 2005 que ce rythme diminue.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Interprétation économique du point D de g :

Rédaction :

On peut lire que les coordonnées du point D sont (0.5 ; 0.15). En abscisse à gauche, c’est le pourcentage des gens les plus pauvres. En ordonnée en dessous, c’est la répartition des richesses.
On peut affirmer que les 50% des gens les plus pauvres du pays 2 détiennent 15% des richesses du pays 2.

On donne
f(x) = 0.5x³ + 0.5x
et on admet que est positive sur [0 ; 1]

2) Aire A₁ du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1 :

Rédaction :

Cette aire est ∫_{[de 0 à 1]}f(x)dx en U.A.
Pour la calculer, il faut d’abord déterminer une primitive F(x) de f(x).

La primitive « simple » de x³ est ^x4/₄.

La primitive « simple » de x est ^x2/₂.

Donc F(x) = 0.5 × ^x4/₄ + 0.5 × ^x2/₂
= 0.125x⁴ 0.25x².

A₁ = ∫_{[de 0 à 1]}f(x)dx
= F(1) – ( F(0) )
= 0.125 × 1⁴ 0.25 × 1² – (0.125 × 0⁴ 0.25 × 0²)
= 0.125 + 0.25 – (0)
= 0.375

3) Aire de A :

Rédaction :

Cette aire se situe entre la droite d’équation y = x (au-dessus) et la courbe Cf (en dessous). Pour calculer cette aire, on fait :
aire_sous_la_droite – aire_sous_la_courbe
= ¹/₂ – A₁
= 0.5 – 0.375
= 0.125.

L’aire sous la droite y = x, allant de x = 0 à x = 1 vaut ¹/₂ car c’est un triangle rectangle de base 1 et de hauteur 1 (un demi-carré). C’est la formule ^{(Base × Hauteur)}/₂.

G₂ = ⁴/₁₅.
4) Coefficient de Gini G₁ et le système le plus égalitaire :

Rédaction :

G₁ = 2 × A₁
= 2 × 0.125
= 0.25

G₂ = ⁴/₁₅
= 0.267 environ.

G₁ < G₂ donc le pays 1 a un système + égalitaire que le pays 2.

5) Résultat à l’avance sur le graphique :

Rédaction :

La courbe C_f est au-dessus de la courbe C_g donc plus près de la droite y = x qui représente un système idéalement égalitaire.
C’est bien le pays lié à f, le premier.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Au début du compte U, celui-ci est vide. Chaque année, l’épargnant y ajoute 6000 euros pour obtenir le solde l’année suivante. D’une année sur l’autre, on a donc u_n+1 = u_n + 6000.
(u_n) est donc une suite arithmétique de raison 6000 et son premier terme est 0.
Comme la suite est arithmétique :

On commence à u₀ = 0 et r = 6000.
Donc pour tout n, u_n = 0 + 6000 × (n – 0)
= 6000n.

2) Chaque année n, le client ajoute 6000 à son compte en banque.
A la fin de la première année, il y a donc u₁ = 6000 euros dans son compte. Comme les intérêts sont de 5%,
cela fait i1 = 5/100 × u₁
= 0,05 × u₁.

L’année 2, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u₂ = u₁ + 6000 dans le compte.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u₂ qu’on ajoute à ceux d’avant, soit :
i₂ = i₁ + 0,05 × u₂
= 0,05 × u₁ + 0,05 × u₂
= 0,05 × (u₁ + u₂).

L’année 3, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u₃ = u₂ + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u₃, soit :
i₃ = 0,05 × u₃ + i₂
= 0,05 × u₃ + × (u₁ + u₂)
= 0,05*(u₁ + u₂ + u₃).

Et ainsi de suite…..

L’année n, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u_n = u_n-1 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u_n, soit :
i_n = 0,05 × u_n + i_n-1
= 0,05 × u_n + 0,05 × (u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n-1)
= 0,05 × (u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n-1 + u_n)

Donc i_n = 0,05 × (6000 + 6000 × 2 + 6000 × 3 + … + 6000 × n).
Je factorise par 6000 :
i_n = 0,05 × (6000(1 + 2 + 3 + … + n))
= 300 × (1 + 2 + 3 + … + n).

Or d’après le cours :

donc i_n = 300 × n(n+1)/2
= 150n(n+1).

3) L’année suivante, pour calculer v_n+1, on prend le solde de l’année précédente v_n. Sur ces v_n euros, on gagne 4 pourcents d’intérêts. Du coup, le solde provenant de v_n subit une augmentation de 4 pourcent : on multiplie donc v_n par (1 + 4/100) = 1,04.
De plus, l’épargnant ajoute 6000 euros dans l’année. A la fin de l’année, les intérêts de 4 pourcents sont donc comptabilisés sur ces 6000 soit 6000 × 1.04 = 6240.
Du coup, v_n+1 est la somme de ces deux montants.
v_n+1 = 1.04v_n + 6240.

w_n = v_n + 156000.

4) Pour tout n, w_n+1 = v_n+1 + 156000
= 1.04v_n + 6240 + 156000
= 1.04v_n + 162240
= 1.04 × (v_n + 162240/1.04)
= 1.04 × (v_n + 156000)
= 1.04 × w_n.

Donc (w_n) est une suite géométrique de raison 1.04 et de première terme
w₀ = v₀ + 156000
= 0 + 156000 = 156000.

5) La formule explicite d’une suite géométrique est :

Du coup, w_n = w₀ × 1.04^n-0
= 156000 × 1.04ⁿ.

D’après les données de l’exercice, w_n = v_n + 156000.
Donc v_n = w_n – 156000
= 156000 × 1.04ⁿ – 156000.

6) Les intérêts du placement V sont la différence entre le solde total et l’argent apporté par l’épargnant qui vaut 6000n car il apporte 6000 euros par an sur n années.

Donc j_n = v_n – 6000n
= 156000 × 1.04ⁿ – 156000 – 6000n.

7) i₁₀ = 150 × 10 × (10+1)
= 150 × 11 = 16500 euros.
j₁₀ = 156000 × 1.04¹⁰ – 156000 – 6000 × 10
= 14918.11 euros.

Sur 10 ans, il faut choisir le placement U car i₁₀ > j₁₀.

8) On calcule pour n = 20.
i₂₀ = 150 × 20 × (20+1)
= 3000 × 21 = 63000 euros.
j₂₀ = 156000 × 1.04²⁰ – 156000 – 6000 × 20
= 65815.21 euros.

Sur 20 ans, il faut choisir le placement V car i₂₀ < j₂₀

9) Dans le test du TantQue, la condition est que l’algorithme continue de tourner tant que les intérêts de V sont inférieurs ou égaux aux intérêts de U
(on reconnait j_n ≤ i_n).
Du coup, la boucle va s’arrêter dès que les intérêts totaux de V vont strictement dépasser ceux de U. C’est le résultat voulu.

L’algorithme retourne N, c’est-à-dire le nombre d’étapes ou années quand le placement V devient plus intéressant que le placement U.
Il retourne N = 18, donc le placement V devient plus intéressant à partir d’un placement de 18 ans.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

f(x) = (2x + 1)e^x

1) Pour déterminer le signe du produit f(x), qui a deux facteurs, on construit un tableau de signe avec chacun des facteurs.

Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu donc on met un unique + dans la ligne de l’exponentielle.

On met un « + » pour 2x + 1
⇔ 2x + 1 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -1
⇔ x ≥ –¹/₂
⇔ on est à droite de –¹/₂ dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –¹/₂.

On obtient donc le tableau suivant :

2) Pour déterminer les variations d’une fonction, on détermine d’abord le signe de la fonction dérivée.

f(x) = (2x + 1)e^x
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 1,
u ‘ (x) = 2,
v(x) = e^x,
v ‘ (x) = e^x.

La dérivée du produit f(x) est donc la formule :
f ‘ (x) = u ‘ (x) × v(x) + u(x) × v ‘ (x)

Du coup, f ‘ (x) = 2×e^x + (2x + 1)×e^x
= e^x × (2 + (2x + 1)) (en factorisant par l’exponentiel)
= e^x × (2x + 3)

Pour déterminer le signe du produit f ‘ (x), qui a deux facteurs, on construit un tableau de signe avec chacun des facteurs.

Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu donc on met un unique + dans la ligne de l’exponentielle.

On met un « + » pour 2x + 3
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -3
⇔ x ≥ –³/₂
⇔ on est à droite de –³/₂ dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –³/₂.

On obtient donc le tableau suivant :

Le minimum est atteint en –³/₂.
On calcule f(-³/₂) en remplaçant x par –³/₂dans l’expression de f(x).

3) Pour déterminer la convexité du fonction f, on fait le tableau de signe de f ‘ ‘ (x).

Voici un exemple ci-dessous qui ne correspond par à l’exercice ici :

Déterminons notre dérivée seconde f ‘ ‘ (x) :

f ‘ (x) = (2x + 3) × e^x
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 3,
u ‘ (x) = 2,
v(x) = e^x,
v ‘ (x) = e^x.

La dérivée du produit f ‘ (x) est donc la formule :
f ‘ ‘ (x) = u ‘ (x) × v(x) + u(x) × v ‘ (x)

Du coup, f ‘ ‘ (x) = 2×e^x + (2x + 3)×e^x
= e^x × (2 + (2x + 3)) (en factorisant par l’exponentiel)
= e^x × (2x + 5)

Pour déterminer le signe du produit f ‘ ‘ (x), qui a deux facteurs, on construit un tableau de signe avec chacun des facteurs.

Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu donc on met un unique + dans la ligne de l’exponentielle.

On met un « + » pour 2x + 5
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -5
⇔ x ≥ –⁵/₂
⇔ on est à droite de –⁵/₂ dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –⁵/₂.

On obtient donc le tableau suivant :

4) D’après la question précédente, le point d’inflexion est atteint en x = –⁵/₂.
L’ordonnée de point est f(-⁵/₂).
f(-⁵/₂) = (2 × –⁵/₂ + 1)e^–5/₂
= (-5 + 1)e^–5/₂
= -4e^–5/₂.

Les coordonnées du point d’inflexion sont donc (-⁵/₂ ; -4e^–5/₂).

L’équation d’une tangente à une courbe Cf au point d’abscisse a est :

Ici, a = –⁵/₂.

Donc f(a) = -4e^–5/₂

De plus,
f ‘ (a) = (2 × –⁵/₂ + 3)e^–5/₂
= (-5 + 3)e^–5/₂
= -2e^–5/₂.

Du coup, l’équation de la tangente au point d’inflexion est :

y = -2e^–5/₂(x – (-⁵/₂)) + (-4e^–5/₂)
= -2e^–5/₂ × x + (-2) × e^–5/₂ × ⁵/₂ – 4e^–5/₂
= -2e^–5/₂ × x – 5e^–5/₂ – 4e^–5/₂
= -2e^–5/₂ × x – 9e^–5/₂

5) Convexité de g(x) = xe^x.

Pour trouver la convexité de g, il faut dériver deux fois et déterminer le signe de g ‘ ‘ (x).

g(x) = x × e^x
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = x,
u ‘ (x) = 1,
v(x) = e^x,
v ‘ (x) = e^x.

La dérivée du produit g(x) est donc la formule :
g ‘ (x) = u ‘ (x) × v(x) + u(x) × v ‘ (x)
= 1 × e^x + x × e^x
= e^x × (1 + x).
= a(x) × b(x)

avec a(x) = e^x
a ‘ (x) = e^x
b(x) = 1 + x
b ‘ (x) = 1

g ‘ ‘ (x) = a ‘ (x) × b(x) + a(x) × b ‘ (x)
= e^x × (1 + x) + e^x × 1
= e^x × (1 + x + 1)
= e^x × (x + 2)

Pour déterminer le signe du produit g ‘ ‘ (x), qui a deux facteurs, on construit un tableau de signe avec chacun des facteurs.

Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu donc on met un unique + dans la ligne de l’exponentielle.

On met un « + » pour x + 2
⇔ x + 2 ≥ 0
⇔ x ≥ -2
⇔ x ≥ -2
⇔ on est à droite de -2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de -2.

On obtient donc le tableau suivant :

g n’est pas convexe sur R, pas concave sur R, mais admet un point d’inflexion.

6) Calculons h ‘ (x) :

h(x) = ^ex/_{(x – 1)}
= ^u(x)/_v(x)

avec u(x) = e^x,
u ‘ (x) = e^x,
v(x) = x – 1,
v ‘ (x) = 1.

h ‘ (x) = ^{(ex× (x – 1) – ex × 1)}/_{(x – 1)²}
= ^{(ex(x – 2))}/_{(x – 1)²}

7) Etudions k(x) = 0,9^x :

0,9 est positif, donc n’importe quelle puissance de 0,9 est positive, donc k positive sur R.
0,9 < 1 donc k (0,9^x) est strictement décroissante sur R.
Tout fonction a^x est convexe sur R (a > 0), k aussi.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^6π/₃

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^3π/₃ ; ^3π/₃].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de -11 (pour ^-11Π/₃), ajouter plusieurs fois 6 (pour ^6π/₃) pour arriver dans l’intervalle ]-3 ; 3] (pour ]-^3π/₃ ; ^3π/₃]).

-11 + 6 = -5
-5 + 6 = 1
1 appartient bien à ]-3 ; 3] donc la mesure principale est ^1Π/₃.

Pour les deux autres angles, on fait de même et on obtient ^1Π/₄ et ^5Π/₆.

2) Pour déterminer les placements des angles ^4Π/₃, ^3Π/₄ et ^Π/₆, il faut penser à des gâteaux.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₃ est un gâteau avec un découpage pour 6 personnes.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₄ est un gâteau avec un découpage pour 8 personnes.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₆ est un gâteau avec un découpage pour 12 personnes.

Déjà, détermine la taille d’une part à partir de la gauche (l’angle 0), puis ajoute le nombre de parts de même taille pour arriver au bon angle.

Pour ^Π/₃, vas jusqu’à 1 part d’un gâteau de 6 personnes.
Pour ^Π/₄, vas jusqu’à 1 part d’un gâteau de 8 personnes.
Pour ^5Π/₆, vas jusqu’à 5 parts d’un gâteau de 6 personnes.

3-4-5) On a :
(^→u ; ^→v) = –^Π/₉ et
(^→u ; ^→w) = ^Π/₄.

3) (^→v, ^→w) :

Comme on connaît ^→u et ^→v donc on peut faire Chasles entre ^→v et ^→w en plaçant ^→u au milieu.

(^→v, ^→w)
= (^→v, ^→u) + (^→u, ^→w).

(^→v, ^→u) se calcule en inversant le sens de
(^→u, ^→v) car si on va de ^→v vers ^→u, c’est en sens contraire de ^→u vers ^→v.
Donc :
(^→v, ^→u) = -(^→u, ^→v).

(^→v, ^→w)
= (^→v, ^→u) + (^→u, ^→w)
= -(^→u, ^→v) + (^→u, ^→w)
= -(-^Π/₉) + ^Π/₄
= ^4Π/₃₆ + ^9Π/₃₆
= ^13π/₃₆.

4) (-^→u ; ^→v) :

Lorsqu’on a « un seul moins » devant un vecteur, cela renverse ce vecteur vers l’autre sens donc il se crée un demi-tour, soit un changement d’angle de π. Dans le schéma ci-dessous les deux vecteurs ^->u et ^->v sont inversés.

On a donc : (-^→u, ^→v)
= (^→u, ^→v) + π
= –^Π/₉ + π
= ^8π/₉

5) (-2^→u ; ^→w).

Ici, c’est pareil, c’est le signe « moins » qui compte devant, la valeur « 2 » ne change rien. Du coup, on fait +π aussi.

On a donc : (-2^→u, ^→w)
= (^→u, ^→v) + π
= ^Π/₄ + π
= ^5π/₄
= ^-3π/₄ (mesure principale en enlevant 2π).

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^8π/₄

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^4π/₄ ; ^4π/₄].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de -35 (pour ^-35Π/₄), ajouter plusieurs fois 8 (pour ^8π/₄) pour arriver dans l’intervalle ]-4 ; 4] (pour ]–^4π/₄ ; ^4π/₄]).

-35 + 8 = -27
-27 + 8 = -19
-19 + 8 = -19
-11 + 8 = -3
-3 appartient à ]-4 ; 4] donc la mesure principale est ^-3Π/₄.

2) Pour résoudre sur [0 ; 2π] une équation du type
sin(x) = ^-√2/₂,
il faut déjà arriver à la forme :
sin a = sin b.

Pour cela, regardons à quel angle correspond ^-√2/₂ sur le cercle trigonométrique. Comme on parle de sinus, on s’occupe de la hauteur ^-√2/₂.

Tout d’abord, ^-√2/₂ correspond à environ -0,71 pour un cercle trigo qui a pour rayon 1.

Comme ^+√2/₂ est le sinus de ^π/₄,
la hauteur ^-√2/₂ correspond à –^π/₄.

On obtient donc : sin x = sin (–^π/₄).

D’après le cours, si sin a = sin b, cela veut dire que :
a = b + 2π*k (k ∈ Z),
ou
a = π – b + 2π*k (k ∈ Z).

Dans notre cas :

x = –^π/₄ + 2π*k (k ∈ Z),
ou
x = π – (-^π/₄) + 2π*k (k ∈ Z).

⇔

x = –^π/₄ + 2π*k (k ∈ Z),
ou
x = ^5π/₄ + 2π*k (k ∈ Z).

Ces deux égalités sont les solutions sur R, maintenant il nous les faut sur l’intervalle [0 ; 2π]. Pour cela, on prend la première des égalités et on parcourt les différentes de k. 0, -1, -2, etc, puis 1, 2, etc. On vérifie si les valeurs trouvées sont dans l’intervalle ou non.

Pour la première égalité :
k = 0 donne –^π/₄ qui n’est pas dans l’intervalle car en dessous. On ne descendra pas dans les k négatifs. Non.

k = 1 donne –^π/₄ + 2π soit ^7π/₄. Celui-ci est bien dans l’intervalle [0 ; 2π] voulu car 8/4 = 2. OK.

k = 2 donne ^15π/₄, donc on dépasse l’intervalle par le dessus. Non et on s’arrête là.

Pour la seconde égalité :
k = 0 donne ^5π/₄, on est bien dedans. OK.

k = -1 donne ^-3π/₄, on est en dessous. Non.

k = 1 donne ^13π/₄, on est au dessus. Non et on s’arrête là.

Pour conclure, S = { ^7π/₄ ; ^5π/₄ }.

3-4-5-6) On a (^→u, ^→v) = ^π/₃
et (^->u, ^->w) = ^π/₄.

3) (^→u, –^→v) :

Lorsqu’on a « un seul moins » devant un vecteur, cela renverse ce vecteur vers l’autre sens donc il se crée un demi-tour, soit un changement d’angle de π.

On a donc : (^→u, –^→v) = (^→u, ^→v) + π
= ^π/₃ + π
= ^4π/₃
= ^-π/₃ (mesure principale).

4) (^→u, 2^→u) :

On a les vecteurs ^→u et ^→u qui sont dans la même direction et le même sens. Donc l’angle est nul. Comme 2 est positif, cela ne change rien au sens de ^->u.
Donc (^→u, 2^→u) = 0.

5) (^→v, ^→w) :

Comme on connaît ^→u et ^→v donc on peut faire Chasles entre ^→v et ^→w en plaçant ^→u au milieu.

(^→v, ^→w) = (^→v, ^→u) + (^→u, ^→w).

(^→v, ^→u) se calcule en inversant le sens de
(^→u, ^→v) car si on va de ^→v vers ^→u, c’est en sens contraire de ^→u vers ^→v.
Donc :
(^→v, ^→u) = -(^→u, ^→v).

(^→v, ^→w) = (^→v, ^→u) + (^→u, ^→w)
= -(^→u, ^→v) + (^→u, ^→w)
= –^π/₃ + ^π/₄
= –^4π/₁₂ + ^3π/₁₂
= –^π/₁₂

6) (-2^→w, -5^→u) :

Ici, on a deux « moins ». Comme vu dans le petit a), on peut enlever celui du vecteur gauche en ajoutant π à l’angle.
(-2^→w, -5^→u) = (2^→w, -5^→u) + π

On peut enlever celui du vecteur droit en ajoutant encore π à l’angle.
(2^→w, 5^→u) + π = (2^→w, 5^→u) + π + π

Les coefficients positifs ne changent pas la valeur de l’angle.
(2^→w, -5^→u) + π + π = (^→w, ^→u) + 2π

L’ajout de 2π représente un tour complet de l’angle donc on peut enlever le 2π car cela ne change rien à sa valeur.

(^→w, ^→u) + 2π = (^→w, ^→u)

Comme vu précédemment, on peut échanger les vecteurs en prenant l’opposé car on change de sens donc :

(^→w, ^→u)
= -(^→u, ^→w)
= –^π/₄

Du coup, (-2^→w, -5^→u) = –^π/₄.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) v₁
= v₀₊₁
= ³/_{( v0 + 1 )}
= ³/_{( 2 + 1 )}
= ³/₃
= 1.

v₂
= v₁₊₁
= ³/_{( v1 + 1 )}
= ³/_{( 1 + 1 )}
= ³/₂.

v₂ = v₂₊₁
= ³/_{( v2 + 1 )}
= ³/_{( ³/2 + 1 )}
= ³/_{( ³/2 + ²/2 )}
= ³/_{( ⁵/2 )}
= 3×( ²/₅ )
= ⁶/₅.

2) Avant d’essayer de prouver qu’une suite arithmétique (on ne sait pas vraiment si elle l’est ou non), l’idéal est de calculer les premières différences puis de les comparer :

v₁ – v₀ = 1 – 2 = -1,
v₂ – v₁ = ³/₂ – 1 = ¹/₂.

Dès maintenant, on voit que v₂ – v₁ est différent de
v₁ – v₀ donc la suite (v_n) n’est pas arithmétique car on ajoute pas le même à chaque fois pour passer d’un terme à un autre.

3) Ici nous avons une suite arithmétique avec u₅₀ = 406 et u₁₀₀ = 806. Mais nous n’avons pas u₀.

Pour déterminer sa raison, on utilise la formule avec u_p :
Pour tout n, u_n = u_p + r × (n – p).
Prenons n le plus grand avec 100 et p le plus petit avec 50.
On obtient u₁₀₀ = u₅₀ + r × (100 – 50)
⇔ 806 = 406 + 50r
⇔ 806 – 406 = 50r
⇔ 400 = 50r
⇔ 8 = r.
La raison est 8.

Calculons u₀ maintenant avec u_n = u₀ + (n – 0) × 8, cela donne :
u₁₀₀ = u₀ + (100 – 0) × 8
⇔ 806 = u₀ + 800
⇔ u₀ = 806 – 800 = 6

On a donc pour tout n, u_n = 6 + 8n.

4) S = u₅₀ + … + u₁₀₀
= 6 + 8 × 50 + … + … + 6 + 8×100
= 6 + 6 + … + 6 + 8 × [ 50 + 51 + 52 + … + 100 ]
(Il y a 51 nombres 6 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
= 51 × 6 + 8 × [ (50 + 0) + (50 + 1) + (50 + 2) + … + (50 + 50) ]
= 306 + 8 × [ 50 + 50 + … + 50 + 0 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50 ]
(Il y a 51 nombres 50 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
= 306 + 8 × [ 50 × 51 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50 ]

D’après le cours, 1 + 2 + 3 + … + n = ^{( n × (n + 1) )}/₂,
donc jusqu’à cela donne ^{( 50 × 51 )}/₂ = 25 × 51.

= 306 + 8 × [ 50 × 51 + 25 × 51 ]
= 306 + 8 × [ 75 × 51 ]
= 306 + 6005 × 51
= 306 + 30600
= 30906

Sinon il y a la formule plus simple que je n’apprends jamais :
(nombre de terme)×(1er terme arithmétique + dernier terme)/2
= 51 × ^{( u₅₀ + u₁₀₀ )}/₂
= 51 × ^{( 406 + 806 )}/₂
= 51 × ¹²¹²/₂
= 51 × 06
= 30906.

5) 1 + 2 + … + 2009 + 2010 = ^{( n × (n + 1) )}/₂ avec n = 2010.
= ^{( 2010 × 2011 )}/₂
= 1005 × 2011
= (1000 + 5) × 2011
= 1000 × 2011 + 5 × 2011
= 2011000 + 10055
= 2021055

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit sur l’exercice

Tout le corrigé :

1) On prend f(x) = x² – 2.

J’applique l’algorithme à la main :

Entrées :

Lire a : a = 1
Lire b : b = 2
Lire b : p = 0.1

Traitement :

Test du tant que b-a>p soit 2-1>0.1 soit 1>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur ^(a+b)/₍₂₎
= ⁽¹⁺²⁾/₍₂₎
= ³/₍₂₎
= 1.5
donc c = 1.5

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1)×f(1.5)<0
soit (-1)×0.5<0 : Vrai
Donc on va dans le alors
b prend la valeur c : b = 1.5
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1, b = 1.5, c = 1.5

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1>0.1 soit 0.5>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur ^(a+b)/₍₂₎
= ^(1+1.5)/₍₂₎
= ^2.5/₍₂₎
= 1.25
donc c = 1.25

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1)×f(1.25)<0
soit (-1)×(-0.4375)<0 : Faux
Donc on va dans le sinon
a prend la valeur c : a = 1.25
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.25, b = 1.5, c = 1.25

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1.25>0.1 soit 0.25>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur ^(a+b)/₍₂₎
= ^(1.25+1.5)/₍₂₎
= ^2.75/₍₂₎
= 1.375
donc c = 1.375

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1.25)×f(1.375)<0
soit (-0.4375)×(-0.109375)<0 : Faux
Donc on va dans le sinon
a prend la valeur c : a = 1.375
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.375, b = 1.5, c = 1.375

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1.375>0.1 soit 0.125>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur ^(a+b)/₍₂₎
= ^(1.375+1.5)/₍₂₎
= ^2.875/₍₂₎
= 1.4375
donc c = 1.4375

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1.375)×f(1.4375)<0
soit (-0.4375)×(0.06640625)<0 : Vrai
Donc on va dans le alors
b prend la valeur c : b = 1.4375
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.375, b = 1.4375, c = 1.4375

Test du tant que b-a>p soit 1.4375-1.375>0.1 soit 0.0625>0.1 : Faux
On ne fait pas de tour de boucle et on va après.

Affichage :

« a =  » : 1.375
« b =  » : 1.4375
« c =  » : 1.4375
« p =  » : 0.1

2) A chaque fois, on coupe l’intervalle [a ; b] en deux et on calcule c au milieu. On sait qu’il y a un f(α) = 0 avec α dans cet intervalle.

Si le f(a) et le f(c) sont de même signe (f(a)×f(c)≥0), le f(α) = 0 n’est pas ici, donc le α est entre c et b. Du coup, on prend le nouvel intervalle est celui de droite [c ; b]. C’est pour ça que a prend la valeur c.

Si le f(a) et le f(c) sont de signes différents (f(a)×f(c)<0), le f(α) = 0 est pas ici, donc le α est entre a et c. Du coup, on prend le nouvel intervalle est celui de gauche [a ; c]. C’est pour ça que b prend la valeur c.

A chaque fois, l’intervalle est coupé en deux donc deux fois plus petit. On recommence tant que la taille de celui-ci est strictement plus grand que la précision p. Donc on s’arrête quand b-a≥p.

Quand on a un tout petit intervalle, on connait la valeur du α tel que f(α) = 0. La marge d’erreur est la taille de l’intervalle [a ; b].

3) p est la précision du α. On fait tourner la boucle du tant que la largeur b-a de l’intervalle [a ; b] est strictement plus grande que p, et on termine l’algorithme quand la largeur de l’intervalle [a ; b] est plus petite ou égale à p.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Normalement, la proportion de résultat pairs dans des lancers de dés normaux est de ¹/₂ car il y a trois nombres pairs sur six sur les faces d’un dé.

Je vais calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour savoir entre quelle valeur minimale et quelle valeur maximale oscille normalement la fréquence des résultats pairs au seuil de 95%.

Ici p = 0.5 et n = 2500 lancers, l’intervalle est donc :
IF = [0.5 – ¹/_√2500 ; 0.5 + ¹/_√2500]
IF = [0.5 – ¹/₅₀ ; 0.5 + ¹/₅₀]
IF = [0.5 – 0.02 ; 0.5 + 0.02]
IF = [0.48 ; 0.52]

La fréquence théorique calculée se situe au seuil de 95% dans cet intervalle IF.

Calculons maintenant la fréquence observée avec la formule suivante :

fréquence-observée
= ^{(nombre de cas favorables)}/_{(nombre total de cas)}
= ¹¹⁵⁰/₂₅₀₀
= 0.46.

La fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle des fréquences théoriques de l’intervalle de fluctuation asymptotique. Au seuil de 95%, ce n’est pas normal. A ce seuil de 95%, il serait bien faire une enquête pour dés truqués.

2) D’après l’affirmation, 80% des appareils n’ont pas de défaut. Cela veut dire que la proportion de cette population quasi-infinie (50000) est de 0.80.

On teste cette proposition sur un échantillon de 400. Calculons l’intervalle de fluctuation asymptotique.

Ici p = 0.8 et n = 400 lancers, l’intervalle est donc :
IF = [0.8- ¹/_√400 ; 0.8 + ¹/_√400]
IF = [0.8 – ¹/₂₀ ; 0.8 + ¹/₂₀]
IF = [0.8 – 0.05 ; 0.8 + 0.05]
IF = [0.75 ; 0.85]

La fréquence théorique calculée se situe au seuil de 95% dans cet intervalle IF.

Calculons maintenant la fréquence observée avec la formule suivante :

fréquence-observée = 0.70 car 70% des appareils sont sans défaut.

La fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle des fréquences théoriques de l’intervalle de fluctuation asymptotique. Au seuil de 95%, ce n’est pas normal. A ce seuil de 95%, on peut penser que le grossiste a été trompé.

3) 400 expériences de 100 lancers, c’est 40000 lancers soit un échantillon de taille n = 40000. La fréquence de gain de cet échantillon est f = 0.24.

La formule de l’intervalle de confiance est :

Ici f = 0.24 et n = 40000 lancers, l’intervalle est donc :
IC = [0.24- ¹/_√40000 ; 0.24 + ¹/_√40000]
IC = [0.24 – ¹/₂₀₀ ; 0.24 + ¹/₂₀₀]
IC = [0.24 – 0.005 ; 0.24 + 0.005]
IC = [0.235 ; 0.245]

L’intervalle de confiance est [0.235 ; 0.245].

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland