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Tout le corrigé :
1) Normalement, la proportion de résultat pairs dans des lancers de dés normaux est de 1/2 car il y a trois nombres pairs sur six sur les faces d’un dé.
Je vais calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour savoir entre quelle valeur minimale et quelle valeur maximale oscille normalement la fréquence des résultats pairs au seuil de 95%.
Ici p = 0.5 et n = 2500 lancers, l’intervalle est donc :
IF = [0.5 – 1/√2500 ; 0.5 + 1/√2500]
IF = [0.5 – 1/50 ; 0.5 + 1/50]
IF = [0.5 – 0.02 ; 0.5 + 0.02]
IF = [0.48 ; 0.52]
La fréquence théorique calculée se situe au seuil de 95% dans cet intervalle IF.
Calculons maintenant la fréquence observée avec la formule suivante :
fréquence-observée
= (nombre de cas favorables)/(nombre total de cas)
= 1150/2500
= 0.46.
La fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle des fréquences théoriques de l’intervalle de fluctuation asymptotique. Au seuil de 95%, ce n’est pas normal. A ce seuil de 95%, il serait bien faire une enquête pour dés truqués.
2) D’après l’affirmation, 80% des appareils n’ont pas de défaut. Cela veut dire que la proportion de cette population quasi-infinie (50000) est de 0.80.
On teste cette proposition sur un échantillon de 400. Calculons l’intervalle de fluctuation asymptotique.
Ici p = 0.8 et n = 400 lancers, l’intervalle est donc :
IF = [0.8- 1/√400 ; 0.8 + 1/√400]
IF = [0.8 – 1/20 ; 0.8 + 1/20]
IF = [0.8 – 0.05 ; 0.8 + 0.05]
IF = [0.75 ; 0.85]
La fréquence théorique calculée se situe au seuil de 95% dans cet intervalle IF.
Calculons maintenant la fréquence observée avec la formule suivante :
fréquence-observée = 0.70 car 70% des appareils sont sans défaut.
La fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle des fréquences théoriques de l’intervalle de fluctuation asymptotique. Au seuil de 95%, ce n’est pas normal. A ce seuil de 95%, on peut penser que le grossiste a été trompé.
3) 400 expériences de 100 lancers, c’est 40000 lancers soit un échantillon de taille n = 40000. La fréquence de gain de cet échantillon est f = 0.24.
La formule de l’intervalle de confiance est :
Ici f = 0.24 et n = 40000 lancers, l’intervalle est donc :
IC = [0.24- 1/√40000 ; 0.24 + 1/√40000]
IC = [0.24 – 1/200 ; 0.24 + 1/200]
IC = [0.24 – 0.005 ; 0.24 + 0.005]
IC = [0.235 ; 0.245]
L’intervalle de confiance est [0.235 ; 0.245].
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
