Exercice de maths de terminale, probabilité continue avec la loi exponentielle, durée de vie, lambda, intégrale, primitive, intervalle.
Exercice N°450 :
Exercice N°450 :
Une et une seule réponse est exacte pour chaque question.
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 , +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0 , t[, notée p([0, t[), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t.
Cette loi est telle que
p([0 ; t[) = ∫[de 0 à t] λe-λx dx,
où t est un nombre réel positif représentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).
1) Pour t ≥ 0, la valeur exacte de p([t ; +∞[) est :
a) 1 – e-λt,
b) e-λt,
c) 1 + e-λt.
2) La valeur de t pour laquelle on a p([0 ; t[) = p([t ; +∞[) est :
a) ln(2)/λ,
b) λ/ln(2),
c) λ/2.
3) D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
a) ln( 50/41 ),
b) ln( 41/50 ),
c) ln(82) / ln(100).
4) Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :
a) p([1 ; +∞[),
b) p([3 ; +∞[),
c) p([2 ; 3[).
5) On prend λ = 0,2. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :
a) 0,5523,
b) 0,5488,
c) 0,4512.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : loi exponentielle, durée de vie.
Exercice précédent : Lois continues – Normale, réduction, calculs classiques – Terminale
