frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de terminale de logarithme népérien avec primitive et intégrale. Dérivée, variation et convexité, courbe et aire en dessous.

Exercice N°415 :

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par
f(x) = ^{(2ln(x) + 4)}/_x.

1) Résoudre l’inéquation f(x) ≥ 0.

On note f ′ la dérivée de la fonction f.
2) Calculer f ′ (x).

3) Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

4) Montrer que la fonction G définie sur ]0 ; +∞[ par
G(x) = (ln x)²
est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par
g(x) = ^2ln(x)/_x.

5) En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

6) Étudier la convexité de la fonction F.

On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé.
7) Déterminer l’aire, en unités d’aire, de la surface comprise entre la courbe C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e².

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : logarithme népérien, primitive, intégrale.

Exercice précédent : Suites – Enoncé, géométrique, variation, explicite – Première