Maths : exercice avec suite géométrique de première. Problème, énoncé, formes récurrente et explicite, variation à étudier, suite auxiliaire.
Exercice N°414 :
Exercice N°414 :
Le 1er janvier 2032, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l’effectif de l’entreprise partira à la retraite au cours de l’année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année.
Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre d’employés de l’entreprise le 1er janvier de l’année (2032 + n) ;
u0 = 1500.
1) Calculer u1 et u2.
2) La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier par un calcul.
3) Expliquer pourquoi on a :
un+1 = 0,9un + 100
pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on pose :
vn = un − 1000.
4) Calculer v0, v1 et v2.
5) Montrer que (vn) est une suite géométrique.
6) Exprimer alors vn en fonction de n.
7) En déduire que :
un = 500 × (0,9)n + 1000
pour tout n ∈ N.
On admet que (un) est une suite décroissante. Au 1er janvier 2032, l’entreprise compte un sureffectif de 300 employés.
8) A partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, suite géométrique, première.
Exercice précédent : Suites – Nature, capital, comparaison, placement – Première
