frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Maths : exercice d’exponentielle avec tangente de première. Dérivées, tableau de variation, inconnues, système d’équations, graphique.

Exercice N°751 :

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur R.
La tangente D à la courbe C au point A(0 ; -4) passe par le point
B(2 ; -6).

1) Donner la valeur de f(0).

2) Justifier que f ‘ (0) = -1 (f ‘ désigne la fonction dérivée de f).

On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x,
f(x) = (x + a) e^bx.

3) Vérifier que : f ‘ (x) = (bx + ab + 1)e^bx.

4) Utiliser les résultats précédents pour calculer les valeurs exactes des réels a et b.

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x
par
f(x) = (x – 4)e^0,5x.

5) Donner l’expression de f ‘ (x).
En déduire le sens de variation de la fonction f sur R.

6) Calculer la dérivée seconde de f notée f ‘ ‘ et vérifier que
f ‘ ‘ (x) = 0,25xe^0,5x.

7) Déterminer l’équation de la tangente à C_f au point d’abscisse 0.

On considère la fonction g définie pour tout réel x par
g(x) = f(x) + x + 4.
On admet que la fonction g est croissante sur R.
8) Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).

9) Déterminer la position de la courbe C par rapport à sa tangente T.

Soit h définie sur R par
h(x) = 2(x – 6)e^0,5x.

10) Calculer la dérivée h ‘ (x) de h(x) sur R

11) Que remarque-t-on ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, tangente, première.

Exercice précédent : Exponentielle – Continuité, équation, tableau, variation – Terminale