Exponentielle – Fonction, variation, limite, courbe – Terminale

avril 21st, 2020

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale

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Exercice N°274 :

Exponentielle, fonction, variation, limite, courbe, terminale

Exercice N°274 :

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[
par g(x) = ex − xex + 1.

(La courbe du dessus n’est pas celle de g.)

1) Déterminer la limite de g en +∞.

2) Étudier les variations de la fonction g.

3) Donner le tableau de variations de g.

4) On admet que g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution notée α. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10-2 de α.

5) Démontrer que eα = 1/(α − 1)

6) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que
A(x) = 4x/(ex + 1).

7) Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A ‘ (x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie plus haut.

8) En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = 4/(ex + 1).

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i ; j).

Exponentielle, fonction, variation, limite, terminale

Pour tout réel x positif ou nul, on note :
M le point de (C) de coordonnées (x ; f(x)),
P le point de coordonnées (x ; 0),
Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).

9) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

Le point M a pour abscisse α.
10) La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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