Maths de terminale : fonction, exercice, limite, exponentielle, courbe. Variations, dérivée, coordonnées, tangente, continuité, encadrement.
Exercice N°274 :
Exercice N°274 :
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[
par g(x) = ex − xex + 1.
(La courbe du dessus n’est pas celle de g.)
1) Déterminer la limite de g en +∞.
2) Étudier les variations de la fonction g.
3) Donner le tableau de variations de g.
4) On admet que g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution notée α. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10-2 de α.
5) Démontrer que eα = 1/(α − 1)
6) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que
A(x) = 4x/(ex + 1).
7) Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A ‘ (x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie plus haut.
8) En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = 4/(ex + 1).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(O ; →i ; →j).
Pour tout réel x positif ou nul, on note :
M le point de (C) de coordonnées (x ; f(x)),
P le point de coordonnées (x ; 0),
Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).
9) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.
Le point M a pour abscisse α.
10) La tangente (T) en M à la courbe (C)) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, limite, exponentielle, courbe.
Exercice précédent : Géométrie 3D – Prisme droit, intersection, plan, droite – Seconde
