Exercice de maths avec algorithme, suite, somme, terminale. Formes récurrente, explicite, limite, inéquation, premier terme, raison.
Exercice N°213 :
Exercice N°213 :
Une association caritative a constaté que, chaque année, 20 % des donateurs de l’année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l’évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l’étude, l’association comptait 1000 donateurs. On note un le nombre de donateurs lors de la n-ième année ; on a donc u1 = 1000.
1) Calculer u2 et u3.
2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a
un+1 = 0,8un + 300.
3) Pour tout entier naturel n, on pose
vn = 1500 − un.
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v1 = 500.
4) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
5) Calculer la somme
S4 = v1 + v2 + v3 + v4.
6) Calculer la limite de la suite (vn).
7) Montrer que pour tout entier naturel n, on a
un = 1500 − 500 × 0,8n−1.
8) Déterminer le nombre total de donateurs au cours des 4 premières années.
9) Déterminer l’évolution du nombre de donateurs de l’association dans les années à venir.
10) Montrer que que pour tout entier naturel n ≥ 1, l’inéquation :
un ≥ 1450
est équivalente à
0,8n−1 ≤ 0,1.
11) Compléter alors l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche le nombre d’années à partir duquel le nombre de donateurs atteindra et dépassera les 1450.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : algorithme, suite, somme, terminale.
Exercice précédent : Suites – Conjecture, expression, limite, algorithme – Terminale
