frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de première. Produit scalaire, droites perpendiculaires. Vecteurs, géométrie dans le plan, repérage, démonstration.

Exercice N°073 :

ABCD est un carré.
M est un point du segment [AC] distinct de A et C.
P et Q sont les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AD) et (CD).

Partie A :

1) Montrer que
^→BQ.^→CP = -BC × DP + CQ × CD.

2) Démontrer que DP = CQ.

3) Démontrer que les droites (BQ) et (CP) sont perpendiculaires.

Partie B indépendante de A :

Dans le repère orthonormé (A ; ^→AB ; ^→AD), on note x l’abscisse du point M.

4) Justifier que le point M a pour coordonnées (x ; x) avec 0 < x < 1.

5) Déterminer les coordonnées des points B, C, P et Q dans ce repère.

6) Calculer ^→BQ.^→CP.

7) Démontrer que les droites (BQ) et (CP) sont perpendiculaires.

Questions indépendantes :

8-9-10-11) Pour chaque affirmation répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse.

8) ^→u(³/₄ ; -1) et ^→v(⁷/₃ ; ⁷/₄) sont orthogonaux.

9) ^→v(-2 ; 3) est le seul vecteur orthogonal à ^→u(3 ; 2).

10) Si ||^→u + ^→v||² = ||^→u||² + ||^→v||², alors ^→u et ^→v sont orthogonaux.

11) Si ||^→u + ^→v|| = ||^→u|| + ||^→v||, alors ^→u et ^→v ne sont pas orthogonaux.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : produit scalaire, droites perpendiculaires.

Exercice précédent : Vecteurs – Figures, démonstrations, alignement de points – Première