Maths de première : exercice d’optimisation du volume d’une boîte. Hauteur, dérivation, tableau de signe, tableau de variation, maximum.
Exercice N°794 :
Exercice N°794 :
On entoure une boîte avec un ruban de longueur totale 1.20 m dont 20 cm ont permis de réaliser le noeud. La boîte est un pavé droit à base carrée et le ruban passe par le milieu des arêtes des faces supérieures et inférieures, comme c’est indiqué sur le schéma ci-dessous.
On désigne par x la longueur du côté du carré (en mètre) et on désigne par h la hauteur de la boîte (en mètre).
1) Montrer que l’on a l’égalité :
4x + 4h = 1.
2) Montrer que l’on a la double inégalité :
0 ≤ x ≤ 0.25.
3) Exprimer la hauteur h de la boîte en fonction de x.
4) Exprimer le volume de la boîte en fonction de x.
On considère la fonction V définie sur [0 ; 0.25] par l’expression :
V(x) = x2( -x + 1/4).
5) Déterminer la fonction dérivée V ‘(x) et étudier son signe en faisant un tableau de signe.
6) Étudier les variations de la fonction V sur l’intervalle [0 ; 0.25].
7) Déterminer la longueur x rendant le volume de la boîte maximal.
8) Quelle est le volume maximal de la boîte ?
9) Tracer dans un repère la courbe de la fonction “volume” V pour des valeurs de x allant de 0 à 0.25 sur l’axe des abscisses.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, optimisation, volume, boîte.
Exercice précédent : Optimisation – Aire, rectangle, dérivation, variation – Première
