Optimisation – Aire, rectangle, dérivation, variation – Première

août 6th, 2022

Category: Dérivées et Intégrales, Géométrie 2D/3D et Repérage, Première

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Maths de première : exercice d’optimisation de l’aire d’un rectangle. Fonction, dérivation, tableau de variation, surface maximale.

Exercice N°793 :

Exercice, optimisation, aire, rectangle, tableau, variation, première, Route de Murat à Riom-ès-Montagle, Cantal, France

Exercice N°793 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite d d’équation x = 12. On note C la courbe représentative de la fonction carré. Pour tout point M de coordonnées (x ; 0) avec x réel compris entre 0 et 12, on construit le rectangle ABCM comme le montre la figure ci-dessous.

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1) Déterminer, en fonction de x, les coordonnées des points A, B et C.

2) Montrer que l’aire du rectangle ABCM est égale à :
-x3 + 12x2.

On considère la fonction f définie sur [0 ; 12] par l’expression :
f(x) = -x3 + 12x2.

3) Déterminer la fonction dérivée f ‘(x) et étudier son signe en faisant un tableau de signe.

4) Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 12].

5) Déterminer la position du point M rendant l’aire du rectangle ABCM maximale.

6) Quelle est l’aire maximale du rectangle ABCM ?

7) Tracer dans un repère la courbe de la fonction « aire » f pour des valeurs de x allant de 0 à 12 sur l’axe des abscisses.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, optimisation, aire, rectangle.

Exercice précédent : Optimisation – Distance, géométrie, dérivation, triangle – Première

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