frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de terminale sur le logarithme népérien. Exercice LN, signe, variation , fonction, position relative, distance, algorithme.

Exercice N°356 :

Exercice N°356 :

1) Restitution Organisée de Connaissances :
Démontrer que lim_x→+∞^{(ln x)}/_x = 0.

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par
f(x) = x – (^{(ln x)}/_x).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, ^→i, ^→j).

Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par
g(x) = x² – 1 + ln(x).
2) Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

3) Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[,
f ‘ (x) = ^g(x)/_(x²).

4) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.

5) Étudier la position relative de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x.

Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement M_k et N_k les points d’abscisse k de C et de D.

6) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance M_kN_k entre les points M_k et N_k est donnée par
M_kN_k = ^{(ln k)}/_k.

7) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k₀ supérieur ou égal à 2 tel que la distance M_kN_k soit inférieure ou égale à 10^-2. Donner la valeur de k₀.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, ln, signe, variation.

Exercice précédent : Logarithme Népérien – Fonction, suite, algorithme – Terminale