Maths, géométrie de l’espace : exercice avec produit scalaire de terminale. Droite, plan, point, système paramétrique, équation cartésienne.
Exercice N°480 :
Exercice N°480 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; →i ; →j ; →k).
On considère les points A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2).
1) Calculer le produit scalaire →AB.→AC puis les longueurs AB et AC.
2) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle B^AC (l’angle ^A).
3) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
4) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :
2x – y + 2z + 2 = 0.
Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives
x + y – 3z + 3 = 0 et x – 2y + 6z = 0
5) Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est :
{ x = -2
{ y = -1 + 3t ; t ∈ R
{ z = t
6) Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Soit S la sphère de centre Ω(1 ; -3 ; 1) et de rayon r = 3.
7) Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.
8) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, produit scalaire, terminale.
Exercice précédent : Primitives et Probabilités – Densité, intégrale, carré – Terminale
