Maths de terminale : exercice d’exponentielle avec variation et continuité, équation avec solution unique, coût de production, primitive.
Exercice N°749 :
Exercice N°749 :
Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par
f(x) = (ax + b)e−x
où a et b sont deux réels.
On note f ‘ la fonction dérivée de f.
1) Montrer que pour tout nombre réel x,
f ‘ (x) = (a − b − ax)e−x.
On donne f(0) = 1 et f ‘ (0) = 3.
2) En déduire a et b.
On admettra dès maintenant que a = 4 et b = 1.
Donc, pour tout réel x ∈ [0 ; 5],
f(x) = (4x + 1)e−x.
3) Étudier les variations de f sur [0 ; 5] et dresser le tableau de variation de f.
4) Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une solution unique sur
[1 ; 5] et en donner une valeur approchée par excès au centième près.
Une entreprise produit x centaines d’objets chaque semaine.
Le coût de production, exprimé en milliers d’euros, est défini sur l’intervalle [0 ; 5] par la fonction f étudiée au-dessus.
5) Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l’euro près.
6) Déterminer la quantité d’objets à produire à partir de laquelle le coût de production hebdomadaire est inférieur à 1000 euros.
7) Démontrer que la fonction F définie sur [0 ; 5] par
F(x) = (−4x − 5)e−x
est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, variation, continuité.
Exercice précédent : Exponentielle – Bénéfice, dérivée, variation, maximum – Première
