Maths : exercice d’exponentielle avec bénéfice de première. Dérivée, variation, maximum, quantité, production, inéquation, nombre dérivé..
Exercice N°748 :
La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction f définie et dérivable sur [2 ; 9]. On note f ‘ sa fonction dérivée.
Les points A(3 ; e) et B(4 ; 2) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l’axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 6.
1-2) Par lecture graphique, répondre aux deux questions suivantes, sans justifier.
1) Pour quelles valeurs du nombre réel x de l’intervalle [3 ; 9] a-t-on
f(x) ≤ 2 ?
2) Déterminer f ‘ (3) et f ‘ (4).
La fonction f représentée est la fonction définie sur l’intervalle [2 ; 9] par
f(x) = (x − 2)e(−x + 4).
3) Pour tout nombre réel x de l’intervalle [2 ; 9], calculer la fonction dérivée f ‘ (x) et montrer que
f ‘ (x) = (3 − x)e(−x + 4).
4) Sur l’intervalle [2 ; 9] étudier le signe de f ‘ (x), puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour avec x respectant
2 ≤ x ≤ 9.
Le bénéfice en milliers d’euros réalisé, par jour, par l’entreprise lorsqu’elle vend x centaines de litres est donné par f(x) pour x ∈ [2 ; 9].
On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l’entreprise vend au moins 200 litres et au plus 900 litres.
On donnera les réponses arrondies à 1 €.
5) Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres.
6) Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, bénéfice, premiere..
Exercice précédent : Convexité – Exponentielle, variation, point d’inflexion – Terminale
