Maths de terminale : exercice d’exponentielle avec variation et limite. Fonction, dérivée, TVI, continuité, tableau de signe, solution unique
Exercice N°656 :
Exercice N°656 :
h est la fonction définie sur R par :
h(x) = (3ex – x – 4)e3x.
1) Déterminer la limite de h en -∞.
2) Déterminer la limite de h en +∞.
On note h ‘ la dérivée de h.
3) Montrer que pour tout nombre réel x,
h ‘ (x) = (12ex – 3x – 13)e3x.
k est la fonction définie sur R par :
k(x) = 12ex – 3x – 13.
On note a le nombre tel que
ea = 1/4.
Ainsi a ≃ -1.4 .
On note k ‘ la dérivée de k.
5) Étudier le signe de k ‘ (x) sur R.
6) Déterminer la limite de k en +∞.
7) Déterminer la limite de k en -∞.
8) Montrer qu’il existe un nombre réel négatif α et un seul tel que
k(α) = 0
et vérifier que
-4.3 < α < -4.2 .
Montrer qu’il existe un nombre réel positif β et un seul tel que
k(β) = 0
et vérifier que
0.1 < β < 0.2 .
9) En déduire le signe de k(x) sur R, puis le sens de variation de la fonction h.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm pour 0.1 en abscisse et 1 cm pour 10-7 en ordonnées).
10) Représenter graphiquement la fonction h sur l’intervalle [ -5 ; -3.9 ].
11) Démontrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique b dans l’intervalle [ -5 ; -3.9 ].
Donner un encadrement de b d’amplitude 10-2.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, variation, limite.
Exercice précédent : Limites – Fonctions, cosinus, sinus, racine, puissance, rationnelle – Terminale
