Maths : exercice sur l’étude d’une suite de terminale. Algorithme, limite, raisonnement par récurrence, auxiliaire géométrique, croissance.
Exercice N°177 :
On considère l’algorithme suivant où U est un nombre réel, k et N des entiers naturels avec N non nul.
1) Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 4un − 3n + 4.
2) Calculer u1 et u2.
3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un > n.
4) En déduire la limite de la suite (un).
5) Démontrer que la suite (un) est croissante.
Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n,
par vn = un − n + 1.
6) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.
7) En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 3 × 4n + n − 1.
Soit p un entier naturel non nul.
8) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que,
pour tout n ≥ n0, un > 10p
?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.
9) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 5.
10) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que,
pour tout n ≥ n0, on ait un > 10p.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, étude, suite, terminale.
Exercice précédent : Suites – Graphique, géométrique, convergence, limite – Terminale
