Maths de première : exercice sur la dérivation, fonction, bénéfice, coût moyen, tableau de variations, maximal, minimal, étude de signe.
Exercice N°294 :
Exercice N°294 :
Une entreprise produit des appareils électroménagers.
Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par :
C(x) = x2 + 50x + 100
pour 5 ≤ x ≤ 100.
L’entreprise vend chaque appareil 100 euros.
1) Justifier que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est :
B(x) = −x2 + 50x − 100
pour x ∈ [5 ; 100].
2) Calculer B ‘ (x) et étudier son signe ; en déduire le tableau de variations de B sur [5 ; 100].
3) Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l’entreprise soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
Le coût moyen de production d’un objet est donné par :
CM(x) = C(x)/x
pour x ∈ [5 ; 100].
4) Justifier par un calcul que
CM(x) = x + 50 + 100/x.
5) Calculer CM ‘ (x) et vérifier que
CM ‘ (x) = (x2 − 100)/x2.
6) Étudier le signe de CM ‘ (x) et dresser le tableau de variations de CM
sur [5 ; 100].
7) Pour quelle valeur de x, le coût moyen est-il minimal ?
8) Le bénéfice est-il maximal quand le coût moyen est minimal ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivation, fonction, bénéfice.
Exercice précédent : Dérivation – Fonction rationnelle, variation, tangente – Première
