Maths de terminale : exercice sur la convexité avec tangente et inflexion. Position relative, courbe, point, signe, dérivée seconde.
Exercice N°310 :
Exercice N°310 :
Soit la fonction définie sur [1 ; 5] par
f(x) = x3 – 6x² + 11x – 8.
On note Cf la courbe représentative de f.
1) Déterminer l’équation réduite de la tangente T2 à la courbe Cf au point d’abscisse 2.
d est la fonction définie par
d(x) = f(x) – (-x).
2) Montrer que d(x) = (x – 2)3.
3) Étudier le signe de cette différence d(x).
4) En déduire la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T2.
5) Que représente le point K de coordonnées (2 ; f(2)) pour la courbe ? Justifier.
6) Étudier le signe de la dérivée seconde f ‘ ‘ (x). En déduire une nouvelle démonstration de la réponse obtenue à la question 5).
Autre chose :
On considère une fonction g deux fois dérivable sur un intervalle I.
7) Si g ‘ est positive alors g est convexe sur I. Vrai ou faux ?
8) Si g est une fonction trinôme
(g(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0)
alors Cg n’admet aucun point d’inflexion. Vrai ou faux ?
9) Si g est convexe sur I, alors g ‘ ne peut pas changer de signe. Vrai ou faux ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, convexité, tangente, inflexion.
Exercice précédent : Convexité – Fonction polynôme, tangente, inflexion – Terminale
